Eine harmonische Schwingung ist eine periodische Bewegung um eine Ruhelage, deren zeitlicher Verlauf durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben wird. Sie tritt überall dort auf, wo eine zur Auslenkung proportionale Rückstellkraft wirkt:
\[ F(x) = -D\,x \]
\( D \) heißt Richtgröße (z.B. Federkonstante).
Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz \( m\ddot x = -Dx \) ergibt sich die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung:
\[ \ddot x + \omega_0^2\,x = 0 \quad\text{mit}\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \]
Lösung ist eine Sinusschwingung:
\[ x(t) = \hat x\,\sin(\omega_0 t + \varphi_0) \]
mit Amplitude \( \hat x \), Kreisfrequenz \( \omega_0 \) und Phase \( \varphi_0 \).
Für die Periodendauer gilt:
\[ T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} \]
Die Frequenz ist \( f = 1/T \), also \( f = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{D/m} \).
Bei der harmonischen Schwingung wandelt sich kinetische in potentielle Energie und umgekehrt:
\[ E_{\text{ges}} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 + \tfrac{1}{2}\,D\,x^2 = \tfrac{1}{2}\,D\,\hat x^2 = \text{const} \]
In der Gleichgewichtslage ist die Geschwindigkeit maximal, in den Umkehrpunkten Null.
Eine Masse \( m = 0{,}25\,\text{kg} \) hängt an einer Feder mit \( D = 100\,\text{N/m} \). Periodendauer:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{100}}\,\text{s} \approx 0{,}314\,\text{s} \]
Bei einer Amplitude \( \hat x = 5\,\text{cm} \) ist die Maximalgeschwindigkeit:
\[ \hat v = \omega_0\,\hat x = 20\cdot 0{,}05\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 1{,}0\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Schwingungen treten bei Pendeln, Federn, Quarzkristallen, Schwingkreisen und in der Atomphysik auf. Fehler: Verwechslung von Frequenz \( f \) und Kreisfrequenz \( \omega \), Vergessen der Wurzel in \( \omega_0 = \sqrt{D/m} \).
Zusammenfassung: \( F = -Dx \) führt auf \( \ddot x + \omega_0^2 x = 0 \) mit \( \omega_0 = \sqrt{D/m} \). Die Lösung ist sinusförmig.
Abitur-Tipp: Erkenne harmonische Bewegung an der Bedingung \( F\propto -x \). Damit ist die Periodendauer ohne Aufwand über \( T = 2\pi\sqrt{m/D} \) berechenbar.