Federpendel und Fadenpendel

Eine an einer Schraubenfeder hängende Masse \( m \) führt nach Auslenkung eine harmonische Schwingung aus. Die Rückstellkraft folgt dem Hookeschen Gesetz:

\[ F = -D\,x \]

Mit der Bewegungsgleichung \( m\ddot x = -Dx \) ergibt sich die Periodendauer:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}} \]

\( T \) hängt also nicht von der Amplitude ab.

Ein Fadenpendel der Länge \( \ell \) mit einer Masse \( m \) am Ende schwingt unter dem Einfluß der Schwerkraft. Die rückstellende Komponente der Gewichtskraft ist:

\[ F_{\text{rück}} = -m\,g\,\sin(\varphi) \]

Für kleine Winkel gilt \( \sin\varphi\approx\varphi \), also \( F\approx -mg\varphi \). Mit \( s = \ell\varphi \) folgt:

\[ \ell\,\ddot\varphi = -g\,\varphi \quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} \]

• Federpendel: \( T \) hängt nur von \( m \) und \( D \) ab.
• Fadenpendel: \( T \) hängt nur von \( \ell \) und \( g \) ab – nicht von der Masse!
• Für große Auslenkungen wird das Fadenpendel anharmonisch (Kleinwinkelnäherung verletzt).

Wie lang muß ein Fadenpendel sein, damit es Sekundenpendel ist (\( T = 2\,\text{s} \))?

\[ \ell = \frac{g\,T^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81\cdot 4}{4\pi^2}\,\text{m} \approx 0{,}994\,\text{m} \]

Ein Federpendel mit \( m = 0{,}5\,\text{kg} \) und \( D = 50\,\text{N/m} \) hat:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{50}}\,\text{s} \approx 0{,}628\,\text{s} \]

Pendel werden in mechanischen Uhren, Erdbebensensoren und Schwingungsdämpfern verwendet. Mit dem Fadenpendel lässt sich die Erdbeschleunigung \( g \) messen. Fehler: Beim Fadenpendel die Pendelmasse in die Formel einsetzen; beim Federpendel die Erdbeschleunigung verwenden.

Zusammenfassung: Federpendel: \( T = 2\pi\sqrt{m/D} \). Fadenpendel: \( T = 2\pi\sqrt{\ell/g} \), unabhängig von der Masse.

Abitur-Tipp: Begründe stets, weshalb das Fadenpendel nur für kleine Winkel harmonisch ist (Kleinwinkelnäherung \( \sin\varphi\approx\varphi \)).