In der Realität verlieren Schwinger durch Reibung Energie. Modelliert man die Reibung als geschwindigkeitsproportionale Kraft \( F_R = -b\,\dot x \), so lautet die Bewegungsgleichung:
\[ m\,\ddot x + b\,\dot x + D\,x = 0 \]
Für schwache Dämpfung ist die Lösung eine Sinusschwingung mit exponentiell abnehmender Amplitude:
\[ x(t) = \hat x_0\,e^{-\delta t}\,\sin(\omega_d t + \varphi_0) \]
mit Abklingkonstante \( \delta = b/(2m) \).
• Schwache Dämpfung: System schwingt mit verminderter Frequenz, Amplitude klingt langsam ab.
• Aperiodischer Grenzfall: System kehrt am schnellsten zur Ruhelage zurück, ohne zu überschwingen.
• Überkritische Dämpfung: System kriecht langsam in die Ruhelage zurück.
Wirkt eine periodische Antriebskraft \( F(t) = F_0\,\sin(\omega t) \), so führt das System nach einer Einschwingphase Schwingungen mit der Erregerfrequenz \( \omega \) aus – nicht mit seiner Eigenfrequenz \( \omega_0 \). Die Bewegungsgleichung lautet:
\[ m\,\ddot x + b\,\dot x + D\,x = F_0\,\sin(\omega t) \]
Die stationäre Amplitude wird maximal, wenn die Erregerfrequenz \( \omega \) nahe der Eigenfrequenz \( \omega_0 \) liegt. Diese Erscheinung heißt Resonanz:
\[ \omega_{\text{res}} \approx \omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} \]
Bei zu schwacher Dämpfung kann die Amplitude so groß werden, daß das System Schaden nimmt – die Resonanzkatastrophe.
Eine Stimmgabel hat \( f_0 = 440\,\text{Hz} \). Eine Resonanzanregung erfolgt also bei \( \omega = 2\pi\cdot 440\,\text{s}^{-1} \approx 2765\,\text{s}^{-1} \). Schwankt die Amplitude einer gedämpften Schwingung in jeder Schwingung um den Faktor \( e^{-\delta T} \), so ist nach \( n \) Perioden:
\[ \hat x_n = \hat x_0\,e^{-n\,\delta T} \]
Resonanz ist gewollt bei Musikinstrumenten, MRT, Schwingkreisen und mechanischen Filtern, aber gefürchtet bei Brücken (Tacoma 1940), Gebäuden in Erdbebengebieten und Maschinen. Fehler: Verwechseln von Eigen- und Erregerfrequenz; vergessen, daß im stationären Zustand die Schwingung mit \( \omega \) erfolgt, nicht mit \( \omega_0 \).
Zusammenfassung: Dämpfung verkleinert die Amplitude exponentiell. Bei Resonanz (\( \omega = \omega_0 \)) wird die Amplitude bei erzwungener Schwingung maximal.
Abitur-Tipp: Im hessischen Abitur wird die Resonanz oft an einem Beispiel (Tacoma-Brücke, Schaukel, Schwingkreis) qualitativ erklärt. Begründe über die Phasenlage und Energieübertragung.