Beugung am Gitter

Ein optisches Gitter besteht aus einer Vielzahl äquidistanter Spalte mit der Gitterkonstante \( g \) (Abstand benachbarter Spalte). Typische Gitter haben 100–1000 Striche pro Millimeter. Es entsteht durch Überlagerung sehr vieler Elementarwellen ein scharfes Interferenzmuster.

Im Vergleich zum Doppelspalt erzeugt das Gitter schärfere Maxima, da viel mehr Wellen zur Interferenz beitragen und die Nebenmaxima durch Mittelung verschwinden.

Konstruktive Interferenz tritt ein, wenn der Gangunterschied benachbarter Spalte ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist. Die Bedingung für Hauptmaxima lautet analog zum Doppelspalt:

\[ g \cdot \sin(\alpha_n) = n \cdot \lambda \qquad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]

\( g \) ist die Gitterkonstante. Für kleine Winkel kann \( \sin\alpha_n\approx x_n/a \) genutzt werden, wobei \( x_n \) der Abstand vom Hauptmaximum auf einem Schirm im Abstand \( a \) ist:

\[ \lambda = \frac{g \cdot x_n}{n \cdot a} \]

Die maximale Ordnung ergibt sich aus \( \sin\alpha\leq 1 \) zu \( n_{\text{max}} = \lfloor g/\lambda \rfloor \).

Jeder Spalt fungiert als Quelle einer Elementarwelle (Huygensprinzip). Zwei benachbarte Wellen besitzen den Wegunterschied \( g\sin\alpha \). Für konstruktive Interferenz ist dieser ein ganzzahliges Vielfaches von \( \lambda \). Da die Bedingung für jeden der vielen Spalte gleichzeitig erfüllt sein muß, fallen die Maxima nur in sehr engen Winkelbereichen zusammen – daher die Schärfe.

Da der Beugungswinkel von der Wellenlänge abhängt, wird weißes Licht in seine Spektralfarben zerlegt. Rotes Licht (größeres \( \lambda \)) wird stärker gebeugt als blaues Licht. Das Gitter wird zur präzisen Wellenlängenmessung und in der Spektroskopie eingesetzt.

Ein Gitter hat 500 Striche pro mm, also \( g = 1/(500\cdot 10^3)\,\text{m} = 2{,}0\cdot 10^{-6}\,\text{m} \). Bei \( \lambda = 633\,\text{nm} \) (HeNe-Laser) ergibt sich der Winkel des 1. Maximums:

\[ \sin\alpha_1 = \frac{\lambda}{g} = \frac{6{,}33\cdot 10^{-7}}{2{,}0\cdot 10^{-6}} \approx 0{,}317\quad\Longrightarrow\quad \alpha_1 \approx 18{,}5^\circ \]

Auf einem Schirm im Abstand \( a = 1{,}5\,\text{m} \) liegt das 1. Maximum bei \( x_1 = a\,\tan\alpha_1 \approx 0{,}502\,\text{m} \).

Gitter werden in Spektrometern, Monochromatoren, Glasfaser-Multiplexern und Lasertechnik eingesetzt. Fehler: Verwechslung von „Striche pro mm“ mit der Gitterkonstanten direkt – immer den Kehrwert bilden!

Zusammenfassung: \( g\sin\alpha_n = n\lambda \) gibt die Hauptmaxima. Mit dem Gitter lassen sich Wellenlängen präzise messen.

Abitur-Tipp: Im Abitur wird häufig die Wellenlänge aus gemessenen Werten bestimmt. Achte auf die korrekte Angabe der Gitterkonstante (oft als Striche pro mm angegeben, dann \( g = 1/N \)).