Louis de Broglie postulierte 1924, daß nicht nur Licht, sondern auch jedes Teilchen Welleneigenschaften besitzt. Einem Teilchen mit Impuls \( p \) wird eine Wellenlänge zugeordnet:
\[ \lambda = \frac{h}{p} \]
Für ein nichtrelativistisches Teilchen ist \( p = m\,v \), also \( \lambda = h/(m v) \).
Werden Elektronen durch die Spannung \( U \) beschleunigt, gilt \( eU = \tfrac{1}{2} m v^2 \), also \( v = \sqrt{2eU/m} \) und damit:
\[ \lambda = \frac{h}{m\,v} = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,U}} \]
Bei \( U = 100\,\text{V} \) ergibt das \( \lambda \approx 0{,}123\,\text{nm} \) – vergleichbar mit Atomabständen in Festkörpern.
Davisson und Germer (1927) sowie George Thomson zeigten experimentell die Beugung von Elektronen an Kristallgittern. Das Ergebnis: Elektronen erzeugen Beugungsringe wie Röntgenstrahlen – ein direkter Beweis ihrer Wellennatur. Heute beobachtet man Materiewellen sogar mit Atomen und großen Molekülen.
Bei \( U = 4{,}0\,\text{kV} \) wird ein Elektron beschleunigt:
\[ \lambda = \frac{6{,}626\cdot 10^{-34}}{\sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 4000}}\,\text{m} \approx 1{,}94\cdot 10^{-11}\,\text{m} \]
Das ist kürzer als die meisten Röntgenwellenlängen – daher ermöglicht ein Elektronenmikroskop deutlich höhere Auflösungen als ein Lichtmikroskop.
Elektronenmikroskope, Neutronenstreuung in der Festkörperphysik, Atominterferometrie. Fehler: Bei makroskopischen Körpern sind die Wellenlängen so klein (\( 10^{-30}\,\text{m} \)), daß Welleneigenschaften unbeobachtbar sind – sie „existieren“ aber im Prinzip.
Zusammenfassung: \( \lambda = h/p \) verknüpft Teilchenimpuls mit Wellenlänge. Beschleunigte Elektronen: \( \lambda = h/\sqrt{2meU} \).
Abitur-Tipp: Die Formel \( \lambda = h/\sqrt{2meU} \) wird im Abi häufig für Elektronen-Beugungsversuche genutzt. Achte auf SI-Einheiten!