Ein geladener Kondensator speichert Energie im elektrischen Feld zwischen seinen Platten. Die gespeicherte Energie ergibt sich aus der Arbeit, die zum Aufladen aufgewendet werden muss.
Formeln für die Kondensatorenergie:
\( W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U = \frac{Q^2}{2C} \)
Dabei ist:
Herleitung: Beim Aufladen steigt die Spannung linear mit der Ladung: \( U(Q) = \frac{Q}{C} \). Die Arbeit zum Aufladen ist die Fläche unter der \( U(Q) \)-Kurve: \( W = \int_0^Q U \, dQ' = \frac{Q^2}{2C} \).
Die im Kondensator gespeicherte Energie ist im elektrischen Feld selbst lokalisiert. Die Energiedichte \( w \) gibt die Energie pro Volumen an:
\( w = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot E^2 \)
Für den Plattenkondensator mit \( E = \frac{U}{d} \) und Volumen \( V = A \cdot d \):
\( W = w \cdot V = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{U^2}{d^2} \cdot A \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon_0 \cdot A}{d} \cdot U^2 = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 \)
Dies bestätigt die Konsistenz der Formeln.
Dielektrikum: Mit einem Dielektrikum (Isolator zwischen den Platten) wird \( \varepsilon_0 \) durch \( \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_r \) ersetzt. Die Kapazität erhöht sich, und bei konstanter Ladung sinkt die Spannung – die Energiedichte ändert sich entsprechend.
Beim Aufladen eines Kondensators über einen Widerstand \( R \) gilt:
\( U_C(t) = U_0 \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) \quad \text{mit} \quad \tau = R \cdot C \)
Beim Entladen:
\( U_C(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} \)
Die Zeitkonstante \( \tau = R \cdot C \) gibt an, nach welcher Zeit die Spannung auf \( \frac{1}{e} \approx 37\% \) des Anfangswerts gesunken ist. Nach \( 5\tau \) ist der Kondensator praktisch vollständig geladen bzw. entladen.
Abitur-Tipp: Bei Aufgaben zum Kondensator immer prüfen: Wird bei konstantem \( Q \), konstantem \( U \) oder konstantem \( C \) verändert? Die drei Energieformeln liefern je nach Randbedingung unterschiedliche Ergebnisse!