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Physik
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Resonanz und Resonanzkatastrophe

Erzwungene Schwingungen

Bei einer erzwungenen Schwingung wird ein schwingungsfähiges System von außen periodisch angeregt. Die Erregerfrequenz \( f_E \) kann dabei von der Eigenfrequenz \( f_0 \) des Systems abweichen.

Verhalten:

Nach einer Einschwingphase schwingt das System mit der Erregerfrequenz \( f_E \) (nicht mit \( f_0 \)).
Die Amplitude hängt vom Verhältnis \( \frac{f_E}{f_0} \) und von der Dämpfung ab.
Die Amplitude ist maximal, wenn \( f_E \approx f_0 \) – dies ist die Resonanz.

Resonanzkurve

Bei Resonanz erreicht die Amplitude ihr Maximum – die Erregerfrequenz stimmt mit der Eigenfrequenz überein.

Resonanzkurve

Die Resonanzkurve zeigt die Amplitude der erzwungenen Schwingung als Funktion der Erregerfrequenz:

Bei schwacher Dämpfung: scharfes, hohes Maximum bei \( f_E \approx f_0 \).
Bei starker Dämpfung: breites, flaches Maximum, das leicht unterhalb von \( f_0 \) liegt.
Für \( f_E \ll f_0 \): Die Amplitude entspricht der statischen Auslenkung.
Für \( f_E \gg f_0 \): Die Amplitude geht gegen null.

Die Güte \( Q \) eines Schwingkreises beschreibt die Schärfe der Resonanz:

\( Q = \frac{f_0}{\Delta f} \)

wobei \( \Delta f \) die Bandbreite (Breite bei halber maximaler Amplitude) ist.

Resonanzkatastrophe

Bei sehr schwacher Dämpfung kann die Resonanzamplitude so groß werden, dass das System zerstört wird – die Resonanzkatastrophe.

Historische Beispiele:

Tacoma-Narrows-Brücke (1940): Die Brücke wurde durch windangeregte Schwingungen in Resonanz versetzt und stürzte ein. (Genauer: aeroelastisches Flattern, nicht reine Resonanz – aber im Abitur wird dies vereinfacht als Resonanzkatastrophe behandelt.)
Brückenschäden durch Gleichschritt: Soldaten überqueren Brücken ohne Gleichschritt, um Resonanzanregung zu vermeiden.
Millennium Bridge London (2000): Laterale Schwingungen durch synchronen Gang der Fußgänger.

Schutzmaßnahmen:

Dämpfung erhöhen: Schwingungsdämpfer in Gebäuden (Tilger).
Eigenfrequenz verschieben: Konstruktive Änderungen.
Anregung vermeiden: Drehzahlbereiche meiden, die zur Resonanz führen.

Elektrischer Schwingkreis: Auch ein RLC-Schwingkreis zeigt Resonanz bei \( f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \). Die Amplitude der Stromstärke wird maximal, wenn die Erregerfrequenz der Resonanzfrequenz entspricht.

Abitur-Tipp: Bei Resonanz-Aufgaben immer angeben: (1) Eigenfrequenz des Systems, (2) Erregerfrequenz, (3) Dämpfung. Die Resonanzbedingung ist \( f_E = f_0 \).