Eine Welle wird durch die Auslenkung \( y(x,t) \) jedes Teilchens am Ort \( x \) zur Zeit \( t \) beschrieben. Im einfachsten Fall einer harmonischen, in positiver x-Richtung laufenden Welle gilt:
\[ y(x,t) = \hat y\,\sin(\omega t - k\,x) \]
mit Kreisfrequenz \( \omega \), Wellenzahl \( k = 2\pi/\lambda \) und Amplitude \( \hat y \).
Alle eindimensionalen mechanischen und elektromagnetischen Wellen erfüllen die Wellengleichung:
\[ \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \]
Sie ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung. Jede Funktion der Form \( y(x,t) = f(x \pm c\,t) \) ist Lösung – die Welle läuft mit der Geschwindigkeit \( c \) ohne Formveränderung.
Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit konstanter Phase:
\[ c = \frac{\omega}{k} = \lambda\,f \]
In dispergierenden Medien hängt \( c \) von der Frequenz ab. Wellenpakete bewegen sich dann mit der Gruppengeschwindigkeit \( v_g = d\omega/dk \).
Für eine Seilwelle gilt \( c = \sqrt{F_S/\mu} \) (Seilkraft pro Längenmasse), für Schall in Luft \( c \approx 343\,\text{m/s} \) bei 20°C, für Licht in einem Medium \( c = c_0/n \) mit Brechzahl \( n \).
Eine Seilwelle mit \( \mu = 0{,}05\,\text{kg/m} \) und \( F_S = 80\,\text{N} \) hat:
\[ c = \sqrt{\frac{80}{0{,}05}}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \sqrt{1600}\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = 40\,\frac{\text{m}}{\text{s}} \]
Bei einer Frequenz von \( f = 20\,\text{Hz} \) ist \( \lambda = c/f = 2{,}0\,\text{m} \).
Die Wellengleichung beschreibt Schall, Seismik, Optik, EM-Wellen und Quantenmechanik. Fehler: Sinus-/Cosinus-Verwechslung; das Vorzeichen vor \( kx \) gibt die Laufrichtung an.
Zusammenfassung: Die Wellengleichung \( \partial_t^2 y = c^2\,\partial_x^2 y \) hat alle laufenden Wellen \( f(x\pm ct) \) als Lösung. Es gilt \( c = \omega/k = \lambda f \).
Abitur-Tipp: Bei einer gegebenen Wellenfunktion identifizierst du \( \omega \) und \( k \) per Koeffizientenvergleich und liest \( c, \lambda, f \) direkt ab.