Schon der griechische Philosoph Pythagoras (ca. 570–510 v. Chr.) entdeckte den mathematischen Zusammenhang zwischen Saitenlängen und Tonhöhen. An einem Monochord (einsaitiges Versuchsinstrument) stellte er fest: Halbiert man die Saite, klingt der Ton eine Oktave höher (Verhältnis 2:1). Im Verhältnis 3:2 ergibt sich eine reine Quinte, im Verhältnis 4:3 eine reine Quarte.
Pythagoras stellte fest: Konsonante (wohlklingende) Intervalle entsprechen einfachen Zahlenverhältnissen. Aus dieser Einsicht entwickelte sich die Vorstellung der Sphärenharmonie – die Welt sei nach mathematischen Verhältnissen geordnet wie ein Musikinstrument.
Wenn ein Ton erklingt, schwingt nicht nur die Grundfrequenz, sondern es schwingen zugleich viele Obertöne mit, die in einem ganzzahligen Verhältnis zur Grundfrequenz stehen. Das heißt: Die Frequenzen der Obertöne sind 2-fach, 3-fach, 4-fach usw. der Grundfrequenz.
Die ersten Obertöne über dem Grundton C sind: c (Oktave), g (Quinte darüber), c’ (nächste Oktave), e’ (große Terz), g’ (Quinte), b’ (kleine Septime), c’’ usw. Diese Obertonreihe ist die physikalische Grundlage der Klangfarbe und erklärt, warum bestimmte Intervalle (Oktave, Quinte, Terz) als konsonant empfunden werden.
In der Praxis ergibt sich ein Problem: Eine reine Quintenkette (12 Quinten) ergibt nicht exakt eine ganze Anzahl von Oktaven. Das „Quintenkomma“ beträgt ein kleines, aber hörbares Intervall. Verschiedene Stimmungssysteme lösen das Problem auf unterschiedliche Weise:
• Pythagoräische Stimmung: alle Quinten rein, dafür unsaubere Terzen
• Mittenötige Stimmung: reine Terzen, einige Tonarten unspielbar
• Gleichstufige Stimmung: alle 12 Halbtöne sind gleich groß, alle Tonarten klingen gleichberechtigt
Johann Sebastian Bach (1685–1750) demonstrierte mit seinem Wohltemperierten Klavier (Band I 1722, Band II 1742) die Vorzüge einer wohltemperierten Stimmung: 24 Präludien und Fugen in allen 24 Dur- und Molltonarten. Heute herrscht weltweit die gleichstufige Stimmung vor.
Auch in der Form von Werken finden sich mathematische Proportionen. Der Goldene Schnitt (Verhältnis ca. 1:1,618) ist ein ästhetisch besonders ansprechendes Teilungsverhältnis. Der ungarische Komponist Béla Bartók (1881–1945) wendete den Goldenen Schnitt in seinen Werken an, etwa in der Musik für Saiteninstrumente, Schlagzeug und Celesta (1936). Der Höhepunkt des ersten Satzes liegt fast genau am Punkt des Goldenen Schnitts.
Auch die Fibonacci-Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…) taucht in Bartóks Werken auf – in Taktanzahlen, Themenstrukturen und harmonischen Beziehungen.
Zusammenfassung:
• Pythagoras: einfache Zahlenverhältnisse für konsonante Intervalle
• Obertonreihe: physikalische Grundlage der Klangfarbe
• Stimmungssysteme: pythagoräisch, mittenötig, gleichstufig
• Bach Wohltemperiertes Klavier (1722): alle 24 Tonarten
• Bartók: Goldener Schnitt und Fibonacci-Folge
Abitur-Tipp: Lerne die Verhältnisse 2:1 (Oktave), 3:2 (Quinte) und 4:3 (Quarte) auswendig. Bach Wohltemperiertes Klavier (1722) ist ein Pflichtbeispiel für die gleichstufige Stimmung.