Der Definitionsbereich \( D_f \) einer Funktion \( f \) umfasst alle reellen Zahlen \( x \), für die der Funktionsterm \( f(x) \) sinnvoll berechnet werden kann. Er ist die Menge der erlaubten Eingabewerte.
Für das Abitur in Hessen reicht meist die Untersuchung der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \). Bestimmte Operationen sind jedoch verboten und schließen bestimmte \( x \)-Werte aus.
Folgende drei Verbote musst du kennen:
• Division durch Null: Der Nenner darf nicht null werden.
• Wurzeln aus negativen Zahlen: Unter einer geraden Wurzel (z. B. \( \sqrt{\,} \)) darf der Radikand nicht negativ sein.
• Logarithmen von null oder negativen Zahlen: Das Argument von \( \ln \) bzw. \( \log \) muss positiv sein.
Ganzrationale Funktionen (Polynome): \( D_f = \mathbb{R} \). Beispiel: \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 1 \) ist für jedes \( x \) definiert.
Gebrochen-rationale Funktionen: Nullstellen des Nenners ausschließen. Beispiel: \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2-4} \). Nenner null: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \). Also \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\} \).
Wurzelfunktionen: Radikand \( \geq 0 \). Beispiel: \( f(x) = \sqrt{x-3} \). Es muss \( x - 3 \geq 0 \) gelten, also \( x \geq 3 \). Damit \( D_f = [3; \infty) \).
Logarithmusfunktionen: Argument \( > 0 \). Beispiel: \( f(x) = \ln(x+2) \). Bedingung: \( x + 2 > 0 \), also \( x > -2 \). Damit \( D_f = (-2; \infty) \).
Exponentialfunktionen: \( D_f = \mathbb{R} \). Beispiel: \( f(x) = e^x \) ist für jedes \( x \) definiert.
Bestimme den Definitionsbereich von \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \).
Es gibt zwei Bedingungen: (1) Die Wurzel verlangt \( x - 1 \geq 0 \), also \( x \geq 1 \). (2) Der Nenner darf nicht null sein: \( x - 3 \neq 0 \), also \( x \neq 3 \).
Beide Bedingungen kombiniert: \( D_f = [1; 3) \cup (3; \infty) \).
• Bei gebrochen-rationalen Funktionen wird vergessen, alle Nullstellen des Nenners auszuschließen (oft mehr als eine).
• Bei Wurzeln wird die Bedingung \( \geq 0 \) als \( > 0 \) notiert (Null darf unter der Wurzel stehen).
• Bei Logarithmen wird \( \geq 0 \) statt \( > 0 \) verwendet.
• Mehrere Bedingungen werden nicht korrekt zur Schnittmenge zusammengeführt.
Abitur-Tipp: Notiere den Definitionsbereich immer als ersten Schritt der Kurvendiskussion – auch wenn er trivial ist (\( D_f = \mathbb{R} \)). Bei gebrochen-rationalen Funktionen ergibt sich daraus später direkt die Suche nach Polstellen.