Ein Extrempunkt einer Funktion ist ein Punkt, an dem die Funktion einen lokalen Hochpunkt oder lokalen Tiefpunkt hat. Anschaulich: An einem Hochpunkt ist die Funktion in einer Umgebung überall niedriger oder gleich hoch; an einem Tiefpunkt überall höher oder gleich hoch.
An einem Extrempunkt verläuft die Tangente waagerecht. Das bedeutet: Die erste Ableitung ist null. Diese Tatsache liefert die notwendige Bedingung.
Notwendige Bedingung: Hat \( f \) an der Stelle \( x_0 \) einen Extrempunkt, dann gilt \( f'(x_0) = 0 \).
Hinreichende Bedingung (zweite Ableitung): Gilt zusätzlich \( f''(x_0) < 0 \), so liegt ein Hochpunkt vor. Ist \( f''(x_0) > 0 \), so liegt ein Tiefpunkt vor.
Alternative Bedingung (Vorzeichenwechsel): Wechselt \( f'(x) \) bei \( x_0 \) das Vorzeichen von + nach –, liegt ein Hochpunkt vor; von – nach + ein Tiefpunkt.
Wenn \( f''(x_0) = 0 \), versagt die zweite Ableitung – dann muss der Vorzeichenwechsel von \( f'(x) \) untersucht werden.
Schritt 1: Ableitungen bilden.
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
\( f''(x) = 6x - 12 \)
Schritt 2: Notwendige Bedingung \( f'(x) = 0 \).
\( 3x^2 - 12x + 9 = 0 \) durch 3 teilen: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
Mit der pq-Formel: \( x = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1 \), also \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = 3 \).
Schritt 3: Hinreichende Bedingung prüfen.
\( f''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = -6 < 0 \). Also liegt bei \( x_1 = 1 \) ein Hochpunkt vor.
\( f''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 6 > 0 \). Also liegt bei \( x_2 = 3 \) ein Tiefpunkt vor.
Schritt 4: Funktionswerte berechnen.
\( f(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \), also \( H(1 | 4) \).
\( f(3) = 27 - 54 + 27 = 0 \), also \( T(3 | 0) \).
Ein lokaler Extrempunkt ist nur in einer Umgebung der größte bzw. kleinste Wert. Ein globaler Extrempunkt ist im gesamten Definitionsbereich größter bzw. kleinster Wert. Bei ganzrationalen Funktionen ungeraden Grades existieren keine globalen Extrema (das Grenzverhalten geht gegen \( \pm\infty \)).
Bei einer Aufgabe auf einem Intervall \( [a; b] \) müssen zusätzlich die Randwerte \( f(a) \) und \( f(b) \) verglichen werden, um den globalen Extremwert zu finden.
• Hinreichende Bedingung wird vergessen – eine waagerechte Tangente kann auch ein Sattelpunkt sein (z. B. \( f(x) = x^3 \) bei \( x = 0 \)).
• Funktionswert wird nicht angegeben.
• Bei \( f''(x_0) = 0 \) wird vorschnell „kein Extrempunkt“ geschrieben – es muss der Vorzeichenwechsel geprüft werden.
• Vorzeichen von \( f''(x_0) \) wird mit Hochpunkt/Tiefpunkt verwechselt: negativ = Hochpunkt (Merkhilfe: traurig nach unten = oben).
Zusammenfassung:
• Notwendig: \( f'(x_0) = 0 \)
• Hinreichend: \( f''(x_0) < 0 \) Hochpunkt, \( f''(x_0) > 0 \) Tiefpunkt
• Bei \( f''(x_0) = 0 \): Vorzeichenwechsel von \( f'(x) \) prüfen
• Funktionswert immer angeben: \( H(x_0|f(x_0)) \) oder \( T(x_0|f(x_0)) \)
Abitur-Tipp: Schreibe in der Klausur die notwendige Bedingung explizit hin („Notwendige Bedingung: \( f'(x) = 0 \)“). So macht der Korrektor bei der Punktevergabe keinen Fehler.