Ein Wendepunkt einer Funktion \( f \) ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Vor dem Wendepunkt ist die Funktion z. B. linksgekrümmt (konvex), danach rechtsgekrümmt (konkav) – oder umgekehrt.
Anschaulich: An einem Wendepunkt ändert die Tangente die Richtung ihrer Drehung. Mathematisch ausgedrückt: Die zweite Ableitung wechselt das Vorzeichen.
Notwendige Bedingung: Hat \( f \) an der Stelle \( x_0 \) einen Wendepunkt, dann gilt \( f''(x_0) = 0 \).
Hinreichende Bedingung (dritte Ableitung): Gilt zusätzlich \( f'''(x_0) \neq 0 \), liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor.
Alternative Bedingung (Vorzeichenwechsel): Wechselt \( f''(x) \) bei \( x_0 \) das Vorzeichen, liegt ein Wendepunkt vor.
Ein Sattelpunkt ist ein Spezialfall: ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Dort gilt zusätzlich \( f'(x_0) = 0 \).
Schritt 1: Ableitungen.
\( f'(x) = 3x^2 - 6x \), \( f''(x) = 6x - 6 \), \( f'''(x) = 6 \).
Schritt 2: Notwendige Bedingung \( f''(x) = 0 \).
\( 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Schritt 3: Hinreichende Bedingung prüfen.
\( f'''(1) = 6 \neq 0 \), also liegt bei \( x = 1 \) tatsächlich ein Wendepunkt vor.
Schritt 4: Funktionswert berechnen.
\( f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \), also \( W(1 | 0) \).
Optional: Steigung im Wendepunkt. \( f'(1) = 3 - 6 = -3 \). Die Wendetangente hat die Gleichung \( y = -3(x-1) + 0 = -3x + 3 \).
Bei einem Sattelpunkt gilt sowohl \( f'(x_0) = 0 \) als auch \( f''(x_0) = 0 \). Beispiel: \( f(x) = x^3 \) bei \( x_0 = 0 \). Dort ist \( f'(0) = 0 \) (waagerechte Tangente) und \( f''(0) = 0 \), aber \( f'''(0) = 6 \neq 0 \). Es liegt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente vor – ein Sattelpunkt.
Achtung: Bei einem Sattelpunkt kein Hoch- oder Tiefpunkt – obwohl die Tangente waagerecht ist!
Das Vorzeichen von \( f''(x) \) gibt das Krümmungsverhalten an:
• \( f''(x) > 0 \): linksgekrümmt (konvex, „Tasse nach oben“)
• \( f''(x) < 0 \): rechtsgekrümmt (konkav, „Tasse nach unten“)
An einem Wendepunkt wechselt diese Eigenschaft – deshalb auch der Name „Wende“.
• Hinreichende Bedingung wird vergessen.
• Wenn \( f'''(x_0) = 0 \) gilt, wird vorschnell „kein Wendepunkt“ geschrieben – auch hier muss der Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung geprüft werden.
• Bei einem Sattelpunkt wird vergessen, dass es ein Wendepunkt ist.
• Funktionswert wird nicht angegeben.
Zusammenfassung:
• Notwendig: \( f''(x_0) = 0 \)
• Hinreichend: \( f'''(x_0) \neq 0 \)
• Sattelpunkt = Wendepunkt mit \( f'(x_0) = 0 \)
• Vorzeichen von \( f''(x) \): positiv = linksgekrümmt, negativ = rechtsgekrümmt
Abitur-Tipp: Wenn nach dem Krümmungsverhalten gefragt wird, mache eine kleine Vorzeichentabelle für \( f''(x) \). Das beweist den Wendepunkt elegant ohne dritte Ableitung.