Der Wertebereich \( W_f \) einer Funktion \( f \) ist die Menge aller \( y \)-Werte, die die Funktion tatsächlich annimmt. Während der Definitionsbereich \( D_f \) die Eingaben beschreibt, beschreibt der Wertebereich die Ausgaben.
Mathematisch: \( W_f = \{ f(x) \mid x \in D_f \} \).
Der Wertebereich ergibt sich aus drei Informationen:
• Grenzverhalten für \( x \to \pm\infty \)
• Extrempunkte (lokale und globale Hoch-/Tiefpunkte)
• Asymptoten bei gebrochen-rationalen oder Exponentialfunktionen
Beispiel 1: \( f(x) = x^2 \). Der globale Tiefpunkt liegt bei \( T(0|0) \). Da \( f(x) \to +\infty \) für \( x \to \pm\infty \), ist \( W_f = [0; \infty) \).
Beispiel 2: \( f(x) = -x^2 + 4 \). Der globale Hochpunkt liegt bei \( H(0|4) \). Grenzverhalten: \( f(x) \to -\infty \). Also \( W_f = (-\infty; 4] \).
Beispiel 3: \( f(x) = x^3 - 3x \). Hochpunkt \( H(-1|2) \), Tiefpunkt \( T(1|-2) \). Grenzverhalten gegen \( \pm\infty \). Da der Graph unbeschränkt ist, ist \( W_f = \mathbb{R} \) – die Extrempunkte sind nur lokal.
Beispiel 4: \( f(x) = e^x \). \( f(x) \to 0 \) für \( x \to -\infty \) (Asymptote), \( f(x) \to +\infty \) für \( x \to +\infty \). Also \( W_f = (0; \infty) \). Beachte: 0 wird nie erreicht.
• Bei ganzrationalen Funktionen ungeraden Grades wird fälschlich \( W_f = [\text{Tiefpunkt}; \text{Hochpunkt}] \) angegeben – korrekt ist \( \mathbb{R} \).
• Bei Exponentialfunktionen wird die 0 mit eingeschlossen.
• Offene und geschlossene Intervallklammern werden vertauscht.
Abitur-Tipp: Wenn du dir unsicher bist, zeichne den Graphen kurz und schaue, welche \( y \)-Werte er überstreicht. Kombiniere stets Extrempunkte und Grenzverhalten.