Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Beispiele: idealer Würfel, faire Münze, Lottoziehung, gut gemischtes Kartenspiel.
Für ein Ereignis \( A \) gilt dann die Laplace-Formel:
\[ P(A) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}} = \frac{|A|}{|\Omega|} \]
Wie wahrscheinlich ist es, mit einem Würfel eine Zahl grösser als 4 zu würfeln?
\( \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \), \( |\Omega| = 6 \).
Günstig: \( A = \{5, 6\} \), \( |A| = 2 \).
\( P(A) = \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3} \approx 33{,}3\% \).
Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, ein Herz oder eine Bube zu ziehen?
\( |\Omega| = 32 \).
Günstig: 8 Herzkarten + 4 Buben - 1 (Herzbube doppelt gezählt) = 11 Karten.
\( P(A) = \tfrac{11}{32} \approx 34{,}4\% \).
Beim Wurf zweier Würfel: Wie wahrscheinlich ist die Augensumme 7?
\( |\Omega| = 6 \cdot 6 = 36 \) mögliche Ergebnisse.
Günstig für Summe 7: \( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \) – das sind 6 Kombinationen.
\( P(\text{Summe 7}) = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6} \approx 16{,}7\% \).
1. Prüfe, ob alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
2. Bestimme \( |\Omega| \): Anzahl der möglichen Ergebnisse.
3. Bestimme \( |A| \): Anzahl der günstigen Ergebnisse.
4. Berechne den Quotienten und gib das Ergebnis als Bruch oder Prozent an.
• Laplace-Annahme nicht geprüft: nicht jedes Experiment ist Laplace.
• Ergebnisse doppelt gezählt (z. B. bei der Schnittmenge zweier Mengen).
• \( |\Omega| \) falsch berechnet (z. B. bei mehreren Würfen).
Zusammenfassung:
• Laplace: alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich
• Formel: \( P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|} \)
• Bei Mehrstufigkeit: \( |\Omega| \) ist Produkt der Einzelmengen
• Bei Schnittmengen Doppelzählung vermeiden
Abitur-Tipp: Wenn der Sachverhalt komplex ist, zeichne ein Baumdiagramm oder eine Tabelle, um \( |\Omega| \) und \( |A| \) sicher zu bestimmen.