Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt: Wird ein Zufallsexperiment oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses immer mehr seiner Wahrscheinlichkeit an.
Formal: Sei \( H_n(A) \) die absolute Häufigkeit von \( A \) bei \( n \) Versuchen. Dann ist die relative Häufigkeit \( h_n(A) = \tfrac{H_n(A)}{n} \). Für \( n \to \infty \) strebt diese gegen \( P(A) \).
Beim Wurf einer fairen Münze ist die theoretische Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ \( P = 0{,}5 \). Bei nur 10 Würfen kann die relative Häufigkeit stark schwanken (z. B. \( \tfrac{7}{10} = 0{,}7 \)). Bei 1000 Würfen liegt sie meist sehr nah an 0,5.
Wichtig: Es gibt keine Garantie, dass nach 100 Würfen genau 50 mal Kopf gefallen ist. Das Gesetz spricht von einer Tendenz, nicht von Exaktheit.
Das Gesetz erlaubt es, unbekannte Wahrscheinlichkeiten experimentell zu schätzen. Beispiel: Für einen unbekannten Würfel wirft man 1000-mal und notiert die relativen Häufigkeiten. Diese sind eine gute Schätzung für die wahre Wahrscheinlichkeit.
• Spielerfehlschluss: „Nach 5 mal Kopf muss jetzt Zahl kommen.“ Falsch – jeder Wurf ist unabhängig.
• Empirische und theoretische Wahrscheinlichkeit verwechselt.
• Aus wenigen Versuchen wird vorschnell auf Wahrscheinlichkeiten geschlossen.
Abitur-Tipp: In Aufgaben wird oft gefragt, warum eine relative Häufigkeit von der theoretischen Wahrscheinlichkeit abweicht. Antwort: Bei kleiner Stichprobe sind Schwankungen normal – das Gesetz wirkt nur für sehr große \( n \).