Die Vereinigung \( A \cup B \) (lies: „A oder B“) enthält alle Elemente, die in \( A \) oder in \( B \) (oder in beiden) liegen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich mit der Additionsregel:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Sind \( A \) und \( B \) unvereinbar (\( A \cap B = \emptyset \)), entfällt der Subtraktionsterm: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \).
Die Schnittmenge \( A \cap B \) (lies: „A und B“) enthält alle Elemente, die gleichzeitig in \( A \) und in \( B \) liegen.
Für unabhängige Ereignisse gilt die Multiplikationsregel: \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). Für abhängige Ereignisse gilt die allgemeine Pfadregel mit bedingter Wahrscheinlichkeit.
Das Gegenereignis \( \overline{A} \) enthält alle Ergebnisse, die nicht in \( A \) liegen. Es gilt:
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]
Diese Formel ist oft die schnellste Möglichkeit, eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, besonders bei „mindestens“-Aufgaben.
In einer Klasse mit 30 Schülern spielen 18 Fussball, 12 Basketball, und 8 spielen beides. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig gewählter Schüler mindestens eine der beiden Sportarten spielt?
Sei \( F \) = „spielt Fussball“, \( B \) = „spielt Basketball“.
\( P(F) = \tfrac{18}{30} = 0{,}6 \), \( P(B) = \tfrac{12}{30} = 0{,}4 \), \( P(F \cap B) = \tfrac{8}{30} \approx 0{,}267 \).
\( P(F \cup B) = 0{,}6 + 0{,}4 - 0{,}267 = 0{,}733 \). Also etwa 73,3 Prozent.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler keine der beiden Sportarten spielt, ist \( P(\overline{F \cup B}) = 1 - 0{,}733 = 0{,}267 \).
Für das Gegenereignis von Vereinigung und Schnitt gelten:
\[ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}, \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \]
Anschaulich: „Nicht (A oder B)“ bedeutet „Nicht A und nicht B“.
• Bei der Additionsregel wird der Schnittterm vergessen.
• Multiplikationsregel wird auf abhängige Ereignisse angewendet.
• Gegenereignis wird falsch formuliert.
Zusammenfassung:
• \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
• Bei Unabhängigkeit: \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
• \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)
• De Morgan: \( \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \)
Abitur-Tipp: Bei komplizierten Aufgaben hilft ein Mengendiagramm (Venn-Diagramm). Das macht Vereinigungen und Schnitte sofort sichtbar.