Die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P(B \mid A) \) (sprich: „P von B unter A“) gibt an, wie wahrscheinlich \( B \) ist, wenn man bereits weiß, dass \( A \) eingetreten ist:
\[ P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) > 0) \]
Damit ergibt sich auch die Multiplikationsregel:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \]
In einer Klasse sind 60 Prozent der Schüler Mädchen, davon tragen 40 Prozent eine Brille. Bei den Jungen tragen 25 Prozent eine Brille.
(a) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig gewählter Schüler ein Mädchen mit Brille ist?
\( P(M \cap B) = P(M) \cdot P(B \mid M) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 = 0{,}24 \).
(b) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein zufällig gewählter Schüler eine Brille trägt? (totale Wahrscheinlichkeit)
\( P(B) = P(M) \cdot P(B \mid M) + P(J) \cdot P(B \mid J) = 0{,}6 \cdot 0{,}4 + 0{,}4 \cdot 0{,}25 = 0{,}24 + 0{,}10 = 0{,}34 \).
Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit verknüpft die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \( B \) mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten:
\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B \mid A_1) + P(A_2) \cdot P(B \mid A_2) + \ldots \]
wobei \( A_1, A_2, \ldots \) eine Zerlegung der Ergebnismenge bilden (disjunkt, vollständig).
Anschaulich entspricht der Satz dem Aufsummieren aller Pfade in einem Baumdiagramm, die zum Ereignis \( B \) führen.
Zwei Ereignisse \( A \) und \( B \) sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert:
\[ P(B \mid A) = P(B) \quad \text{bzw.} \quad P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
• \( P(B \mid A) \) und \( P(A \mid B) \) verwechselt – das ist nicht dasselbe.
• Im Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Pfade vergessen.
• Unabhängigkeit unkritisch angenommen.
Zusammenfassung:
• \( P(B \mid A) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
• \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \) (Pfadregel)
• \( P(B) = \sum_i P(A_i) \cdot P(B \mid A_i) \) (totale Wahrscheinlichkeit)
• Unabhängig \( \iff P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \)
Abitur-Tipp: Bei mehreren Stufen ist ein Baumdiagramm oft die schnellste Lösung. Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizieren, dann gleichartige Pfade addieren.