Der Satz von Bayes erlaubt es, eine bedingte Wahrscheinlichkeit „umzudrehen“:
\[ P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)} \]
Im Zähler steht das „A-priori-Wissen“ über \( A \) (Wahrscheinlichkeit von \( A \)) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit von \( B \) gegeben \( A \). Im Nenner steht die totale Wahrscheinlichkeit von \( B \), die meist mit dem entsprechenden Satz berechnet wird:
\[ P(B) = P(A) \cdot P(B \mid A) + P(\overline{A}) \cdot P(B \mid \overline{A}) \]
Eine Krankheit hat in der Bevölkerung die Prävalenz \( P(K) = 0{,}01 \). Ein Test ist zu 99 Prozent zuverlässig: \( P(+ \mid K) = 0{,}99 \) und \( P(+ \mid \overline{K}) = 0{,}01 \) (1 Prozent Falsch-Positive).
Ein Patient ist positiv getestet. Wie wahrscheinlich ist es, dass er tatsächlich krank ist?
Schritt 1: Totale Wahrscheinlichkeit von positiv.
\( P(+) = P(K) \cdot P(+ \mid K) + P(\overline{K}) \cdot P(+ \mid \overline{K}) = 0{,}01 \cdot 0{,}99 + 0{,}99 \cdot 0{,}01 = 0{,}0099 + 0{,}0099 = 0{,}0198 \).
Schritt 2: Bayes anwenden.
\[ P(K \mid +) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}99}{0{,}0198} = \frac{0{,}0099}{0{,}0198} = 0{,}5 \]
Ergebnis: Trotz 99-prozentiger Testzuverlässigkeit ist die Wahrscheinlichkeit, wirklich krank zu sein, nur 50 Prozent. Das ist eine paradoxe, aber korrekte Folgerung – sie zeigt die Bedeutung der Prävalenz.
Bei 10000 Personen wären 100 krank (1 Prozent), davon 99 positiv getestet. Von 9900 Gesunden werden 99 falsch-positiv getestet. Insgesamt 198 Positive, davon 99 echt krank: \( \tfrac{99}{198} = 0{,}5 \). Genau wie Bayes vorhergesagt hat.
• \( P(B) \) wird vergessen oder als \( P(B \mid A) \) eingesetzt.
• Zähler und Nenner werden vertauscht.
• Prävalenz \( P(A) \) wird vergessen.
Zusammenfassung:
• \( P(A \mid B) = \tfrac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)} \)
• Nenner mit totaler Wahrscheinlichkeit berechnen
• Prävalenz von \( A \) entscheidend (besonders bei seltenen Ereignissen)
• Visualisierung mit 4-Felder-Tafel oder Baumdiagramm
Abitur-Tipp: Bei Bayes-Aufgaben stets zuerst die totale Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Das macht den Bruch sauber. Schreibe die gegebenen Werte tabellarisch auf.