Eine Zufallsvariable \( X \) ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet. Beispiel: Beim Werfen zweier Würfel kann \( X \) die Augensumme sein.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist die Auflistung aller möglichen Werte \( x_i \) zusammen mit ihren Wahrscheinlichkeiten \( P(X = x_i) \). Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten beträgt 1.
Eine Spielregel: Bei einem fairen Würfel gewinnst du \( X \) Euro, wobei \( X \) der gewürfelten Augenzahl entspricht. Die Verteilung von \( X \) ist:
\[ \begin{array}{c|cccccc} x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(X=x_i) & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \end{array} \]
Probe: Summe = \( 6 \cdot \tfrac{1}{6} = 1 \). Stimmt.
\( X \) sei die Augensumme zweier Würfel. Mögliche Werte: 2 bis 12.
\( P(X=2) = \tfrac{1}{36} \) (nur 1+1)
\( P(X=3) = \tfrac{2}{36} \) (1+2, 2+1)
\( P(X=4) = \tfrac{3}{36} \)
\( P(X=5) = \tfrac{4}{36} \)
\( P(X=6) = \tfrac{5}{36} \)
\( P(X=7) = \tfrac{6}{36} \) (Maximum)
\( P(X=8) = \tfrac{5}{36} \)
... usw. spiegelbildlich
Summe: \( \tfrac{36}{36} = 1 \).
Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden meist tabellarisch oder als Säulendiagramm dargestellt. Die Höhe der Säulen entspricht den Wahrscheinlichkeiten.
• Summe der Wahrscheinlichkeiten ist nicht 1.
• Werte werden falsch zugeordnet.
• Tabelle wird unvollständig erstellt.
Zusammenfassung:
• Zufallsvariable \( X \) ordnet Ergebnissen Zahlen zu
• Verteilung: Tabelle der \( P(X = x_i) \)
• Summe aller Wahrscheinlichkeiten = 1
• Aus der Verteilung berechnet man Erwartungswert, Varianz und weitere Kennzahlen
Abitur-Tipp: Schreibe die Verteilung immer als ordentliche Tabelle und mache am Ende die Summenprobe. Das gibt einen sicheren Punkt.