Der Erwartungswert \( E(X) \) (auch \( \mu \) für „my“) einer Zufallsvariablen \( X \) ist der theoretische Mittelwert der Werte bei sehr vielen Wiederholungen:
\[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \]
Anschaulich: Jeder mögliche Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet und alles aufsummiert.
Wir würfeln einen fairen Würfel. \( X \) sei die Augenzahl.
\( E(X) = 1 \cdot \tfrac{1}{6} + 2 \cdot \tfrac{1}{6} + 3 \cdot \tfrac{1}{6} + 4 \cdot \tfrac{1}{6} + 5 \cdot \tfrac{1}{6} + 6 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{21}{6} = 3{,}5 \).
Im Mittel fällt also bei vielen Würfen die Augenzahl 3,5.
Ein Spiel kostet 2 Euro Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit 0,4 gewinnt man 5 Euro, sonst nichts. Sei \( G \) der Reingewinn.
\( G \) kann zwei Werte annehmen: \( +3 \) (Gewinn 5 minus Einsatz 2) mit \( P = 0{,}4 \) oder \( -2 \) mit \( P = 0{,}6 \).
\( E(G) = 3 \cdot 0{,}4 + (-2) \cdot 0{,}6 = 1{,}2 - 1{,}2 = 0 \).
Das Spiel ist fair – auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust.
Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Reingewinns null ist. Bei \( E(G) > 0 \) ist es für den Spieler vorteilhaft, bei \( E(G) < 0 \) verlustbringend (z. B. Lotterien).
Für Konstanten \( a, b \) und Zufallsvariablen \( X, Y \) gilt:
• Linearität: \( E(aX + b) = a \cdot E(X) + b \)
• \( E(X + Y) = E(X) + E(Y) \) (immer, auch für abhängige Variablen)
• \( P \) und Wert werden vertauscht (man addiert Wahrscheinlichkeiten statt zu multiplizieren).
• Negative Werte werden vergessen (z. B. bei Verlustspielen).
• Einsatz wird nicht abgezogen.
Zusammenfassung:
• \( E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \)
• Theoretischer Mittelwert bei vielen Wiederholungen
• Faires Spiel: \( E(G) = 0 \)
• Linearität: \( E(aX + b) = a E(X) + b \)
Abitur-Tipp: Erstelle eine Tabelle mit Spalten für Wert, Wahrscheinlichkeit und Produkt. Die Summe der Produkte ist der Erwartungswert.