Die Varianz \( V(X) \) (auch \( \sigma^2 \)) misst, wie stark die Werte einer Zufallsvariablen vom Erwartungswert abweichen. Sie ist die mittlere quadratische Abweichung:
\[ V(X) = \sum_i (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i) \]
wobei \( \mu = E(X) \) der Erwartungswert ist.
Die Standardabweichung \( \sigma \) ist die Wurzel aus der Varianz:
\[ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \]
Vorteil: Sie hat dieselbe Einheit wie \( X \) und ist anschaulicher zu interpretieren als die Varianz.
Für \( X \) mit Verteilung \( P(X=1) = 0{,}2 \), \( P(X=2) = 0{,}5 \), \( P(X=3) = 0{,}3 \).
Erwartungswert: \( \mu = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1 \).
Varianz:
\( (1 - 2{,}1)^2 \cdot 0{,}2 = 1{,}21 \cdot 0{,}2 = 0{,}242 \)
\( (2 - 2{,}1)^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}01 \cdot 0{,}5 = 0{,}005 \)
\( (3 - 2{,}1)^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}81 \cdot 0{,}3 = 0{,}243 \)
Summe: \( V(X) = 0{,}49 \).
Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7 \).
Für Konstanten \( a, b \) gilt:
\( V(aX + b) = a^2 \cdot V(X) \)
Die Konstante \( b \) verschiebt nur, die Streuung ändert sie nicht. Der Faktor \( a \) wirkt quadratisch auf die Varianz.
• Erwartungswert wird falsch berechnet, was die Varianz verfälscht.
• Quadrate werden vergessen.
• Wurzel für die Standardabweichung wird vergessen.
Zusammenfassung:
• \( V(X) = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X=x_i) \)
• \( \sigma = \sqrt{V(X)} \)
• \( V(aX+b) = a^2 V(X) \)
• Standardabweichung in derselben Einheit wie \( X \)
Abitur-Tipp: Berechne den Erwartungswert besonders sauber – ein Fehler dort pflanzt sich in die ganze Varianzrechnung fort.