Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ausgängen: Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit \( p \)) und Misserfolg (mit \( 1 - p \)). Beispiele: Münzwurf, Sechs würfeln, Frage richtig beantworten.
Wird ein Bernoulli-Experiment \( n \)-mal unabhängig wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \( n \).
Sei \( X \) die Anzahl der Erfolge bei einer Bernoulli-Kette der Länge \( n \) mit Erfolgswahrscheinlichkeit \( p \). Dann ist \( X \) binomialverteilt: \( X \sim B(n; p) \). Die Wahrscheinlichkeit für genau \( k \) Erfolge ist:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
wobei \( \binom{n}{k} = \tfrac{n!}{k! (n-k)!} \) der Binomialkoeffizient ist.
Für \( X \sim B(n; p) \) gilt:
\[ E(X) = n \cdot p, \qquad V(X) = n \cdot p \cdot (1-p), \qquad \sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} \]
Diese Formeln musst du auswendig kennen.
Beim Wurf einer Münze 10 mal: Wie wahrscheinlich ist es, genau 4 mal Kopf zu erzielen?
\( n = 10, p = 0{,}5, k = 4 \).
\( P(X = 4) = \binom{10}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^6 = 210 \cdot 0{,}5^{10} = 210 \cdot \tfrac{1}{1024} \approx 0{,}205 \).
Erwartungswert: \( E(X) = 10 \cdot 0{,}5 = 5 \). Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58 \).
Für „höchstens“ oder „mindestens“-Aufgaben braucht man die kumulierten Wahrscheinlichkeiten:
\( P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) \)
\( P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1) \)
\( P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1) \)
Im Abitur sind kumulierte Tafeln (oder ein Taschenrechner mit binomCDF) erlaubt.
• Binomialkoeffizient vergessen.
• Exponenten von \( p \) und \( 1-p \) verwechselt.
• Bei kumulierten Aufgaben Grenzen falsch gesetzt.
• Bedingung der Unabhängigkeit nicht erfüllt – z. B. beim Ziehen ohne Zurücklegen.
Zusammenfassung:
• Binomialverteilung: \( X \sim B(n; p) \)
• \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
• \( E(X) = np \), \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \)
• Voraussetzungen: nur zwei Ausgänge, gleiche Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
Abitur-Tipp: Notiere bei jeder Aufgabe explizit \( n \) und \( p \). Identifiziere klar, was Erfolg ist. Bei „mindestens“-Formulierungen das Gegenereignis nutzen.