Eine Sigma-Umgebung um den Erwartungswert ist ein Intervall \( [\mu - k\sigma; \mu + k\sigma] \), in dem die Werte einer (näherungsweise normalverteilten) Zufallsvariablen mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen. Bei einer Binomialverteilung mit grossem \( n \) und \( \sigma > 3 \) gilt näherungsweise:
• \( P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683 \) (1-Sigma)
• \( P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954 \) (2-Sigma)
• \( P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997 \) (3-Sigma)
Bei einer Klausur mit \( n = 100 \) Fragen und \( p = 0{,}5 \) Erfolgswahrscheinlichkeit ergibt sich \( \mu = 50 \), \( \sigma = \sqrt{100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = 5 \).
1-Sigma-Umgebung: \( [45; 55] \). Mit ca. 68 Prozent landet die Punktzahl in diesem Intervall.
2-Sigma-Umgebung: \( [40; 60] \). Wahrscheinlichkeit ca. 95 Prozent.
• Sigma falsch berechnet.
• Faustregel angewendet, obwohl \( \sigma < 3 \) gilt (dann ungenau).
• Intervall mit Erwartungswert verwechselt.
Abitur-Tipp: Die 1-, 2- und 3-Sigma-Regeln auswendig kennen. Sie sind Standard und werden häufig in Hypothesentests gebraucht.