Die Normalverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der charakteristischen Glockenform. Sie wird durch zwei Parameter bestimmt: Erwartungswert \( \mu \) und Standardabweichung \( \sigma \). Schreibweise: \( X \sim N(\mu; \sigma^2) \).
Die Dichte ist:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \]
Diese Formel mußt du im Hessen-Abitur nicht auswendig kennen, aber du musst Werte mit Tafel oder Taschenrechner berechnen können.
Die Standardnormalverteilung ist der Spezialfall \( \mu = 0 \), \( \sigma = 1 \). Ihre Werte sind in der \( \Phi \)-Tabelle (Phi-Tabelle) aufgeführt.
Jede Normalverteilung kann durch Standardisierung in die Standardnormalverteilung umgerechnet werden:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
\( Z \) ist dann standardnormalverteilt.
Die Körpergrösse von Männern in Deutschland ist näherungsweise \( N(178; 7^2) \) verteilt. Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Mann grösser als 185 cm ist?
\( z = \tfrac{185 - 178}{7} = 1 \).
\( P(X > 185) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \), also etwa 16 Prozent.
Für große \( n \) (Faustregel: \( \sigma > 3 \)) kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit gleichem \( \mu \) und \( \sigma \) ersetzt werden. Das vereinfacht Berechnungen kumulierter Wahrscheinlichkeiten erheblich.
• Standardisierung falsch durchgeführt (Vorzeichen vergessen).
• Bei kontinuierlichen Wahrscheinlichkeiten \( P(X = a) = 0 \) wird ignoriert.
• Tabellenwerte werden falsch abgelesen.
Zusammenfassung:
• Normalverteilung: Glockenkurve, Parameter \( \mu \) und \( \sigma \)
• Standardisierung: \( Z = \tfrac{X - \mu}{\sigma} \)
• \( \Phi \)-Tabelle für Wahrscheinlichkeiten
• Näherung der Binomialverteilung bei grossem \( n \)
Abitur-Tipp: Im Hessen-Abitur sind tabellarische Werte der Standardnormalverteilung erlaubt. Übe das Ablesen sicher.