Eine Kurvenschar ist eine Familie von Funktionen, die sich nur durch einen Parameter \( k \) (oder \( a, t, \ldots \)) unterscheiden. Beispiel: \( f_k(x) = x^2 - 2kx \) ist für jedes \( k \in \mathbb{R} \) eine eigene Funktion. Für jedes \( k \) ergeben sich z. B. eigene Extrempunkte.
Die Ortskurve ist eine Kurve, auf der alle Extrempunkte (oder Wendepunkte) der gesamten Schar liegen. Wenn man \( k \) durchläuft, „wandern“ die Hochpunkte entlang dieser Ortskurve.
1. Bestimme die Extrempunkte der Schar in Abhängigkeit von \( k \).
2. Schreibe \( x \)- und \( y \)-Koordinate als Funktionen von \( k \): \( x(k) \) und \( y(k) \).
3. Eliminiere \( k \), indem du \( k \) aus der \( x \)-Gleichung ausdrückst und in die \( y \)-Gleichung einsetzt.
4. Ergebnis ist eine Funktion \( y = g(x) \), die die Ortskurve beschreibt.
Gegeben: \( f_k(x) = x^3 - 3kx \), wobei \( k > 0 \).
1. Extrempunkte. \( f_k'(x) = 3x^2 - 3k \). \( f_k'(x) = 0 \Rightarrow x^2 = k \Rightarrow x = \pm\sqrt{k} \).
\( f_k''(x) = 6x \). \( f_k''(\sqrt{k}) = 6\sqrt{k} > 0 \): Tiefpunkt. \( f_k''(-\sqrt{k}) = -6\sqrt{k} < 0 \): Hochpunkt.
Funktionswerte: \( f_k(\sqrt{k}) = (\sqrt{k})^3 - 3k\sqrt{k} = k\sqrt{k} - 3k\sqrt{k} = -2k\sqrt{k} \).
Tiefpunkt: \( T(\sqrt{k} \mid -2k\sqrt{k}) \). Analog Hochpunkt: \( H(-\sqrt{k} \mid 2k\sqrt{k}) \).
2. Ortskurve der Tiefpunkte. Setze \( x = \sqrt{k} \), also \( k = x^2 \). Damit:
\[ y = -2k\sqrt{k} = -2 x^2 \cdot x = -2x^3 \]
Die Ortskurve aller Tiefpunkte ist also \( y = -2x^3 \).
• Vorzeichen beim Auflösen nach \( k \) wird vergessen (oft müssen Quadratwurzeln berücksichtigt werden).
• Definitionsbereich der Ortskurve wird nicht eingeschränkt (z. B. nur \( x > 0 \) bei \( k > 0 \)).
• Die \( y \)-Koordinate wird falsch in \( k \) ausgedrückt.
Abitur-Tipp: Notiere stets die Definitionsmenge der Ortskurve. Bei \( k > 0 \) folgt \( x = \sqrt{k} > 0 \), die Ortskurve gilt also nur für \( x > 0 \). Das wird gerne vergessen und gibt Punktabzug.