Eine Stammfunktion \( F(x) \) zu einer Funktion \( f(x) \) ist eine Funktion, deren Ableitung gleich \( f \) ist, also \( F'(x) = f(x) \). Die Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung. Integration ist sozusagen das „Rückgängigmachen“ der Differentiation.
Wichtig: Eine Stammfunktion ist nicht eindeutig. Zu jeder Stammfunktion \( F(x) \) ist auch \( F(x) + C \) (\( C \in \mathbb{R} \)) eine Stammfunktion. Deshalb schreibt man
\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]
Die Konstante \( C \) heißt Integrationskonstante.
Die wichtigste Regel für ganzrationale Funktionen ist die Potenzregel der Integration:
\[ \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \qquad (n \neq -1) \]
In Worten: Den Exponenten um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Diese Regel ist exakt das Gegenstück zur Ableitungsregel \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \).
Beispiele:
• \( \int x^2 \, dx = \tfrac{1}{3}x^3 + C \)
• \( \int x^5 \, dx = \tfrac{1}{6}x^6 + C \)
• \( \int 1 \, dx = x + C \) (Sonderfall \( n = 0 \))
Für das Abitur solltest du folgende Grundintegrale auswendig kennen:
• \( \int e^x \, dx = e^x + C \)
• \( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C \)
• \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \)
• \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \)
• \( \int e^{ax+b} \, dx = \tfrac{1}{a} e^{ax+b} + C \) (Linearer Faktor)
Auch beim Integrieren gelten:
\[ \int \big( f(x) + g(x) \big) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx \]
\[ \int c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int f(x) \, dx \]
Konstante Faktoren dürfen vor das Integral gezogen werden, Summen werden gliedweise integriert.
Bestimme eine Stammfunktion von \( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \).
Wir integrieren gliedweise:
\( \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \tfrac{1}{3} x^3 = x^3 \)
\( \int (-4x) \, dx = -4 \cdot \tfrac{1}{2} x^2 = -2x^2 \)
\( \int 5 \, dx = 5x \)
Damit \( F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + C \).
Probe: \( F'(x) = 3x^2 - 4x + 5 = f(x) \). Stimmt.
Bestimme \( \int (2 e^{3x} + x) \, dx \).
\( \int 2 e^{3x} \, dx = 2 \cdot \tfrac{1}{3} e^{3x} = \tfrac{2}{3} e^{3x} \)
\( \int x \, dx = \tfrac{1}{2} x^2 \)
Ergebnis: \( F(x) = \tfrac{2}{3} e^{3x} + \tfrac{1}{2} x^2 + C \).
• Integrationskonstante \( C \) wird vergessen.
• Bei der Potenzregel wird der Exponent nur um 1 erhöht, aber nicht durch den neuen Exponenten geteilt.
• Bei \( \int e^{ax+b} \, dx \) wird der Faktor \( \tfrac{1}{a} \) vergessen.
• Bei \( \int \sin(x) \, dx \) wird das Vorzeichen vergessen (Stammfunktion ist \( -\cos(x) \), nicht \( +\cos(x) \)).
Zusammenfassung:
• Stammfunktion: \( F'(x) = f(x) \)
• Potenzregel: \( \int x^n \, dx = \tfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C \)
• Stammfunktion ist nur bis auf Konstante \( C \) eindeutig
• Probe: Ableiten der Stammfunktion muß die ursprüngliche Funktion ergeben
Abitur-Tipp: Mache nach jeder Integration die Probe durch Ableiten. Das kostet 30 Sekunden und schützt vor dummen Vorzeichen- oder Faktorfehlern.