Bei manchen Funktionen ist die Stammfunktion nicht direkt ablesbar – etwa bei Produkten von Polynom und Exponentialfunktion. Eine elegante Methode (anstelle der partiellen Integration, die im Hessen-Abitur nicht vorausgesetzt wird) ist der Koeffizientenvergleich: Man stellt einen allgemeinen Ansatz für die Stammfunktion auf und bestimmt die Koeffizienten durch Ableiten und Vergleich.
1. Stelle einen Ansatz \( F(x) \) mit unbekannten Koeffizienten auf, der bei Ableitung die Form von \( f(x) \) ergeben könnte.
2. Berechne \( F'(x) \).
3. Setze \( F'(x) = f(x) \) und vergleiche die Koeffizienten.
4. Löse das entstehende Gleichungssystem.
Bestimme eine Stammfunktion von \( f(x) = (2x+3) e^{x} \).
Ansatz: \( F(x) = (ax + b) e^x \) mit unbekannten \( a, b \).
Ableiten mit Produktregel: \( F'(x) = a \cdot e^x + (ax+b) e^x = (ax + a + b) e^x \).
Vergleich mit \( f(x) = (2x + 3) e^x \): Es muss \( a = 2 \) und \( a + b = 3 \) gelten. Aus \( a = 2 \) folgt \( b = 1 \).
Damit \( F(x) = (2x + 1) e^x + C \).
Probe: \( F'(x) = 2e^x + (2x+1) e^x = (2x + 3) e^x = f(x) \). Stimmt.
• Ansatz wird zu eng gewählt (etwa nur \( F(x) = a x e^x \) statt \( (ax+b) e^x \)).
• Beim Ableiten wird die Produktregel falsch angewendet.
• Das Gleichungssystem wird ungeordnet aufgestellt.
Abitur-Tipp: Wähle den Ansatz immer mit einer Stufe mehr als auf den ersten Blick nötig. Bei \( (2x+3) e^x \) ist der Ansatz \( (ax+b) e^x \) richtig. Für \( (x^2 + 1) e^x \) wählt man \( (ax^2 + bx + c) e^x \).