Ein bestimmtes Integral hat zwei Integrationsgrenzen:
\[ \int_a^b f(x) \, dx \]
Es liefert eine reelle Zahl, geometrisch interpretiert: die orientierte Fläche zwischen Funktionsgraph und \( x \)-Achse im Intervall \( [a; b] \). „Orientiert“ heißt: Bereiche unterhalb der \( x \)-Achse zählen negativ.
Der Hauptsatz verbindet Stammfunktion und bestimmtes Integral:
\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
wobei \( F \) eine beliebige Stammfunktion von \( f \) ist. Die Integrationskonstante \( C \) fällt heraus: \( (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a) \).
Schreibweise: \( \int_a^b f(x) \, dx = \big[ F(x) \big]_a^b = F(b) - F(a) \).
Berechne \( \int_1^3 (2x + 1) \, dx \).
Schritt 1: Stammfunktion bilden. \( F(x) = x^2 + x \).
Schritt 2: Grenzen einsetzen.
\( F(3) = 9 + 3 = 12 \)
\( F(1) = 1 + 1 = 2 \)
Schritt 3: Differenz bilden.
\( \int_1^3 (2x + 1) \, dx = F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10 \).
Berechne \( \int_0^2 (x^3 - 4x) \, dx \).
Stammfunktion: \( F(x) = \tfrac{1}{4} x^4 - 2x^2 \).
\( F(2) = \tfrac{1}{4} \cdot 16 - 2 \cdot 4 = 4 - 8 = -4 \)
\( F(0) = 0 \)
\( \int_0^2 (x^3 - 4x) \, dx = -4 - 0 = -4 \).
Das negative Ergebnis zeigt: Die Funktion verläuft im Intervall \( [0; 2] \) überwiegend unterhalb der \( x \)-Achse.
• Vertauschen der Grenzen: \( \int_a^b f \, dx = -\int_b^a f \, dx \)
• Aufteilen: \( \int_a^c f \, dx = \int_a^b f \, dx + \int_b^c f \, dx \)
• Linearität: \( \int_a^b (f + g) \, dx = \int_a^b f \, dx + \int_a^b g \, dx \)
• Reihenfolge \( F(b) - F(a) \) wird vertauscht.
• Bei negativem Ergebnis wird fälschlich gefolgert, dass keine Fläche existiert.
• Integrationskonstante wird mitgenommen, obwohl sie sich aufhebt.
Zusammenfassung:
• \( \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \)
• Stammfunktion einmal sauber bilden, dann obere minus untere Grenze einsetzen
• Negative Ergebnisse bedeuten Bereiche unter der \( x \)-Achse
• Bei Flächenberechnung Vorzeichen separat behandeln
Abitur-Tipp: Wenn das Integral negativ wird und du eine Fläche berechnen sollst, musst du den Betrag bilden – oder die Funktion zunächst auf Vorzeichenwechsel (Nullstellen) untersuchen.