Das Integral \( \int_a^b f(x) \, dx \) liefert die orientierte Fläche: Bereiche oberhalb der \( x \)-Achse zählen positiv, unterhalb negativ. Für die tatsächliche Fläche (immer positiv) muss man bei Vorzeichenwechseln das Integral aufteilen und Beträge bilden.
Faustregel:
• Funktion oberhalb der \( x \)-Achse auf \( [a;b] \): \( A = \int_a^b f(x) \, dx \)
• Funktion unterhalb: \( A = -\int_a^b f(x) \, dx \) bzw. \( A = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \)
• Funktion mit Vorzeichenwechsel: Aufteilen an den Nullstellen, einzelne Beträge addieren
1. Nullstellen der Funktion im Intervall \( [a; b] \) berechnen.
2. Aufteilen des Intervalls an den Nullstellen.
3. Teilintegrale berechnen, jeweils mit dem Betrag.
4. Summieren aller Beträge zur Gesamtfläche.
Berechne die Fläche, die der Graph von \( f(x) = x^3 - x \) mit der \( x \)-Achse im Intervall \( [-1; 1] \) einschließt.
Schritt 1: Nullstellen. \( x^3 - x = x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = -1, \; x_2 = 0, \; x_3 = 1 \).
Schritt 2: Stammfunktion. \( F(x) = \tfrac{1}{4} x^4 - \tfrac{1}{2} x^2 \).
Schritt 3: Teilintegrale.
\( \int_{-1}^{0} (x^3 - x) \, dx = F(0) - F(-1) = 0 - (\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}) = 0 - (-\tfrac{1}{4}) = \tfrac{1}{4} \)
\( \int_{0}^{1} (x^3 - x) \, dx = F(1) - F(0) = (\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}) - 0 = -\tfrac{1}{4} \)
Schritt 4: Beträge addieren.
\( A = \left| \tfrac{1}{4} \right| + \left| -\tfrac{1}{4} \right| = \tfrac{1}{2} \) FE.
Die Fläche beträgt 0,5 Flächeneinheiten. Achtung: Wenn du die beiden Teilintegrale unkritisch addierst, bekommst du \( \tfrac{1}{4} + (-\tfrac{1}{4}) = 0 \) – das ist falsch!
Wenn nach der Fläche zwischen Graph und \( x \)-Achse ohne Intervallangabe gefragt wird, sind meist die zwischen den Nullstellen liegenden Bereiche gemeint. Dann werden die Nullstellen als Integrationsgrenzen verwendet.
Beispiel: \( f(x) = -x^2 + 4 \) hat die Nullstellen \( x = \pm 2 \). Die eingeschlossene Fläche ist \( A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx = \big[ -\tfrac{1}{3}x^3 + 4x \big]_{-2}^{2} = (-\tfrac{8}{3} + 8) - (\tfrac{8}{3} - 8) = \tfrac{32}{3} \) FE.
• Vorzeichen ignoriert: Negative Teilintegrale werden nicht in Betrag umgewandelt.
• Nullstellen übersehen: Das Intervall wird nicht aufgeteilt – das Ergebnis ist zu klein oder sogar 0.
• Einheit FE (Flächeneinheit) wird vergessen.
• Betragstriche werden mit Klammern vermischt.
Zusammenfassung:
• Fläche ist immer positiv: Beträge bilden
• Bei Vorzeichenwechsel: Intervall an Nullstellen aufteilen
• \( A = \sum_i \left| \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) \, dx \right| \)
• Einheit FE angeben
Abitur-Tipp: Skizziere den Graphen vor der Rechnung kurz, um zu sehen, wo Vorzeichenwechsel liegen. Spart Fehler.