Manchmal soll die Fläche berechnet werden, die zwischen einem Funktionsgraphen und der \( x \)-Achse liegt – aber nicht zwischen Nullstellen, sondern zwischen zwei vertikalen Geraden \( x = a \) und \( x = b \). Diese Geraden sind parallel zur \( y \)-Achse.
Das ist der Standardfall des bestimmten Integrals: Die Integrationsgrenzen \( a \) und \( b \) sind vorgegeben.
Prüfe, ob die Funktion im Intervall \( [a; b] \) Vorzeichenwechsel hat:
• Kein Vorzeichenwechsel: \( A = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \)
• Mit Vorzeichenwechsel: An den Nullstellen aufteilen, Beträge addieren.
Berechne die Fläche zwischen \( f(x) = x^2 - 1 \) und der \( x \)-Achse, begrenzt durch \( x = 0 \) und \( x = 2 \).
Nullstellen im Intervall: \( x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \). Im Intervall \( [0; 2] \) liegt nur \( x = 1 \).
Stammfunktion: \( F(x) = \tfrac{1}{3} x^3 - x \).
Erstes Teilintegral \( [0; 1] \):
\( F(1) - F(0) = (\tfrac{1}{3} - 1) - 0 = -\tfrac{2}{3} \). Betrag: \( \tfrac{2}{3} \).
Zweites Teilintegral \( [1; 2] \):
\( F(2) - F(1) = (\tfrac{8}{3} - 2) - (\tfrac{1}{3} - 1) = \tfrac{2}{3} - (-\tfrac{2}{3}) = \tfrac{4}{3} \).
Gesamt: \( A = \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{3} = 2 \) FE.
• Nullstelle im Intervall übersehen.
• Beträge nicht gebildet.
• Bei \( a > b \) wird das Vorzeichen vergessen (Reihenfolge tauschen).
Abitur-Tipp: Auch bei vorgegebenen Grenzen immer auf Nullstellen prüfen. Eine Nullstelle außerhalb des Intervalls schadet nicht, eine innerhalb überseh wird zum Fehler.