Wenn zwei Funktionsgraphen \( f \) und \( g \) eine Fläche einschließen, berechnet man diese mit der Differenzfunktion \( d(x) = f(x) - g(x) \). Die eingeschlossene Fläche ist
\[ A = \int_a^b \big| f(x) - g(x) \big| \, dx \]
Dabei sind \( a \) und \( b \) die Schnittstellen der beiden Graphen.
1. Schnittstellen der Graphen berechnen: \( f(x) = g(x) \) lösen.
2. Bestimmen, welche Funktion größer ist (oder Integralbetrag bilden).
3. Differenzfunktion \( d(x) = f(x) - g(x) \) bilden.
4. Integrieren über das Intervall der Schnittstellen.
5. Betrag bei eventuell negativem Ergebnis.
Berechne die Fläche, die \( f(x) = -x^2 + 4 \) und \( g(x) = x + 2 \) einschließen.
Schritt 1: Schnittstellen. \( -x^2 + 4 = x + 2 \Leftrightarrow -x^2 - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0 \). Mit pq-Formel: \( x = -\tfrac{1}{2} \pm \sqrt{\tfrac{1}{4} + 2} = -\tfrac{1}{2} \pm \tfrac{3}{2} \). Also \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 1 \).
Schritt 2: Welcher Graph oben? Teste \( x = 0 \): \( f(0) = 4 \), \( g(0) = 2 \). Also \( f \) oben.
Schritt 3: Differenzfunktion. \( d(x) = f(x) - g(x) = -x^2 + 4 - x - 2 = -x^2 - x + 2 \).
Schritt 4: Integrieren.
\( D(x) = -\tfrac{1}{3} x^3 - \tfrac{1}{2} x^2 + 2x \).
\( D(1) = -\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{-2 - 3 + 12}{6} = \tfrac{7}{6} \).
\( D(-2) = -\tfrac{1}{3} \cdot (-8) - \tfrac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = \tfrac{8}{3} - 2 - 4 = \tfrac{8}{3} - 6 = -\tfrac{10}{3} \).
\( A = D(1) - D(-2) = \tfrac{7}{6} - (-\tfrac{10}{3}) = \tfrac{7}{6} + \tfrac{20}{6} = \tfrac{27}{6} = \tfrac{9}{2} \) FE.
Die eingeschlossene Fläche beträgt 4,5 FE.
Bei mehr als zwei Schnittstellen wechselt das Vorzeichen der Differenzfunktion. Dann muss das Integral in Teilintervalle zerlegt und für jedes der Betrag des Teilintegrals gebildet werden – analog zur Flächenberechnung mit der \( x \)-Achse.
• Schnittstellen falsch berechnet (Vorzeichenfehler beim Umstellen).
• Differenzfunktion vertauscht – das Ergebnis wird negativ; Betrag bilden!
• Mehrere Schnittstellen ignoriert: Vorzeichenwechsel der Differenzfunktion innerhalb des Intervalls werden übersehen.
• Einheit FE vergessen.
Zusammenfassung:
• Schnittstellen aus \( f(x) = g(x) \)
• \( A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx \)
• Bei mehreren Schnittstellen: Aufteilung an jeder Schnittstelle
• Differenzfunktion \( d(x) = f(x) - g(x) \) sauber bilden
Abitur-Tipp: Prüfe immer mit einem Testpunkt zwischen den Schnittstellen, welche Funktion oben liegt – das vermeidet Vorzeichenfehler.