Ein uneigentliches Integral ist ein bestimmtes Integral, bei dem mindestens eine Integrationsgrenze unendlich ist oder die Funktion an einer Grenze nicht definiert ist (Polstelle).
Schreibweise:
\[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{z \to \infty} \int_a^{z} f(x) \, dx \]
Existiert dieser Grenzwert (als endliche Zahl), konvergiert das Integral. Sonst divergiert es.
1. Ersetze die unendliche Grenze durch eine Variable, z. B. \( z \).
2. Berechne das Integral mit den endlichen Grenzen \( a \) und \( z \).
3. Bilde den Grenzwert für \( z \to \infty \).
4. Wenn der Grenzwert existiert, ist das Integral konvergent, sonst divergent.
Berechne \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \).
Stammfunktion: \( F(x) = -\tfrac{1}{x} \).
\( \int_1^{z} \tfrac{1}{x^2} \, dx = -\tfrac{1}{z} - (-\tfrac{1}{1}) = 1 - \tfrac{1}{z} \).
Grenzwert: \( \lim_{z \to \infty} \left( 1 - \tfrac{1}{z} \right) = 1 \).
Das Integral konvergiert gegen 1. Anschaulich: Die Fläche unter \( \tfrac{1}{x^2} \) für \( x \geq 1 \) ist endlich gleich 1 FE – obwohl der Bereich unendlich lang ist.
Berechne \( \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \).
Stammfunktion: \( F(x) = \ln(x) \).
\( \int_1^{z} \tfrac{1}{x} \, dx = \ln(z) - \ln(1) = \ln(z) \).
Grenzwert: \( \lim_{z \to \infty} \ln(z) = \infty \). Das Integral divergiert.
Erstaunlich: Obwohl \( \tfrac{1}{x} \) für große \( x \) sehr klein wird, ist die Gesamtfläche unbeschränkt.
Berechne \( \int_0^{\infty} e^{-x} \, dx \).
Stammfunktion: \( F(x) = -e^{-x} \).
\( \int_0^{z} e^{-x} \, dx = -e^{-z} - (-e^0) = 1 - e^{-z} \).
Grenzwert: \( \lim_{z \to \infty} (1 - e^{-z}) = 1 - 0 = 1 \). Das Integral konvergiert gegen 1.
• \( \infty \) wird direkt eingesetzt anstatt mit Grenzwert zu arbeiten.
• Bei \( \int \tfrac{1}{x} \, dx \) wird \( \ln(\infty) \) als endlich angesehen.
• Stammfunktion wird falsch gebildet.
Zusammenfassung:
• Uneigentliches Integral: unendliche Grenze ersetzen durch \( z \), dann \( \lim_{z \to \infty} \)
• Konvergent: Grenzwert existiert (endliche Zahl)
• Divergent: Grenzwert ist \( \pm\infty \) oder existiert nicht
• \( \int_1^{\infty} \tfrac{1}{x^2} dx = 1 \) konvergent, \( \int_1^{\infty} \tfrac{1}{x} dx = \infty \) divergent
Abitur-Tipp: Schreibe die Grenzwertumformung explizit auf: „\( \int_1^{\infty} = \lim_{z \to \infty} \int_1^z \)“. Das ist Pflicht und gibt einen Punkt.