Bei Integralaufgaben mit Parameter ist eine der Integrationsgrenzen oder ein Funktionsparameter unbekannt. Aus einem gegebenen Integralwert soll dieser Parameter bestimmt werden. Diese Aufgaben verbinden Integration mit Gleichungslösen.
Bestimme \( z > 0 \) so, dass \( \int_0^{z} (2x + 1) \, dx = 12 \).
Stammfunktion: \( F(x) = x^2 + x \).
\( \int_0^{z} (2x + 1) \, dx = z^2 + z - 0 = z^2 + z \).
Gleichung: \( z^2 + z = 12 \Leftrightarrow z^2 + z - 12 = 0 \). Mit pq-Formel: \( z = -\tfrac{1}{2} \pm \sqrt{\tfrac{1}{4} + 12} = -\tfrac{1}{2} \pm \tfrac{7}{2} \), also \( z_1 = 3 \), \( z_2 = -4 \). Da \( z > 0 \), folgt \( z = 3 \).
Für welches \( k > 0 \) gilt \( \int_0^{2} kx^2 \, dx = 4 \)?
\( \int_0^{2} kx^2 \, dx = k \cdot \tfrac{1}{3} \cdot 8 = \tfrac{8k}{3} \).
Bedingung: \( \tfrac{8k}{3} = 4 \Rightarrow k = \tfrac{12}{8} = \tfrac{3}{2} \).
• Beide Lösungen einer quadratischen Gleichung werden angegeben, obwohl nur eine den Bedingungen entspricht.
• Der Parameter wird vor dem Integrieren unsachgemäß eliminiert.
• Vorzeichenbedingung (z. B. \( z > 0 \)) wird ignoriert.
Abitur-Tipp: Notiere die Bedingungen für den Parameter (z. B. \( k > 0 \)) am Anfang. Schließe am Schluss explizit unzulässige Lösungen aus.