Der Steigungswinkel \( \alpha \) einer Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( x_0 \) ergibt sich aus der Steigung \( m = f'(x_0) \) durch
\[ \tan(\alpha) = m = f'(x_0) \quad \Rightarrow \quad \alpha = \arctan\big( f'(x_0) \big) \]
Der Winkel wird zwischen Tangente und positiver \( x \)-Achse gemessen. Positive Steigung ergibt einen positiven Winkel (gegen den Uhrzeigersinn).
Berechne den Steigungswinkel des Graphen von \( f(x) = x^2 \) an der Stelle \( x_0 = 1 \).
\( f'(x) = 2x \), also \( f'(1) = 2 \).
\( \alpha = \arctan(2) \approx 63{,}43^\circ \).
Die Tangente steigt mit ca. 63 Grad gegen die \( x \)-Achse.
Schneiden sich zwei Graphen \( f \) und \( g \) im Punkt \( x_0 \), ist der Schnittwinkel der Winkel zwischen ihren Tangenten:
\[ \tan(\alpha) = \left| \frac{f'(x_0) - g'(x_0)}{1 + f'(x_0) \cdot g'(x_0)} \right| \]
Beispiel: \( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = x \) schneiden sich in \( x_0 = 1 \). \( f'(1) = 2 \), \( g'(1) = 1 \). \( \tan(\alpha) = \left| \tfrac{2-1}{1+2} \right| = \tfrac{1}{3} \), also \( \alpha = \arctan(\tfrac{1}{3}) \approx 18{,}43^\circ \).
• Taschenrechner steht im Bogenmaß (rad) statt Grad.
• Bei der Schnittwinkelformel wird der Betrag vergessen.
• Bei negativer Steigung wird der Winkel nicht in den richtigen Quadranten umgerechnet.
Abitur-Tipp: Stelle den Taschenrechner auf DEG (Grad), bevor du \( \arctan \) eingibst – sonst sind alle Winkel falsch.