Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn der Bestand pro Zeitschritt mit einem konstanten Faktor multipliziert wird. Die Modellfunktion lautet
\[ N(t) = N_0 \cdot a^t \quad \text{oder} \quad N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \]
Dabei ist \( N_0 \) der Startwert (zum Zeitpunkt \( t = 0 \)), \( a \) der Wachstumsfaktor pro Zeiteinheit und \( k \) die Wachstumskonstante. Es gilt \( a = e^k \) bzw. \( k = \ln(a) \).
• \( a > 1 \) bzw. \( k > 0 \): Wachstum
• \( 0 < a < 1 \) bzw. \( k < 0 \): Zerfall
Charakteristisch für exponentielles Wachstum: Die Ableitung ist proportional zum Bestand selbst:
\[ N'(t) = k \cdot N(t) \]
Das bedeutet: Je größer der Bestand, desto schneller wächst er. Diese Eigenschaft erkennt man bei vielen Naturphänomenen (Bakterienwachstum, radioaktiver Zerfall, Zinseszins).
Die Verdopplungszeit \( T_2 \) ist die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt:
\[ T_2 = \frac{\ln(2)}{k} \]
Die Halbwertszeit \( T_{1/2} \) ist die Zeit, in der sich der Bestand halbiert (bei Zerfall):
\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{|k|} \]
Beide Größen sind unabhängig vom Anfangsbestand – eine zentrale Eigenschaft des exponentiellen Wachstums.
Eine Bakterienkultur enthält zu Beginn 200 Bakterien und wächst mit 12 Prozent pro Stunde.
(a) Stelle die Wachstumsfunktion auf.
(b) Wie viele Bakterien sind nach 10 Stunden vorhanden?
(c) Wann ist die Anzahl auf 1000 angewachsen?
(a) Wachstumsfaktor \( a = 1{,}12 \), Modell: \( N(t) = 200 \cdot 1{,}12^t \).
(b) \( N(10) = 200 \cdot 1{,}12^{10} \approx 200 \cdot 3{,}106 \approx 621 \) Bakterien.
(c) Bedingung: \( 200 \cdot 1{,}12^t = 1000 \Leftrightarrow 1{,}12^t = 5 \). Logarithmieren:
\[ t = \frac{\ln(5)}{\ln(1{,}12)} \approx \frac{1{,}609}{0{,}1133} \approx 14{,}2 \text{ Stunden} \]
Verdopplungszeit: \( T_2 = \tfrac{\ln(2)}{\ln(1{,}12)} \approx \tfrac{0{,}693}{0{,}1133} \approx 6{,}12 \) Stunden.
Beim radioaktiven Zerfall gilt \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \), wobei \( \lambda > 0 \) die Zerfallskonstante ist. Halbwertszeit: \( T_{1/2} = \tfrac{\ln(2)}{\lambda} \).
Beispiel: Für ein Präparat mit \( T_{1/2} = 5 \) Tagen: \( \lambda = \tfrac{\ln 2}{5} \approx 0{,}1386 \) pro Tag. Nach 12 Tagen sind noch \( N(12) = N_0 \cdot e^{-0{,}1386 \cdot 12} \approx N_0 \cdot 0{,}189 \) (also etwa 19 Prozent) vorhanden.
• Beim Aufstellen der Funktion wird das Prozent-Zeichen falsch interpretiert: 12 Prozent Wachstum bedeutet \( a = 1{,}12 \), nicht \( a = 0{,}12 \).
• Beim Logarithmieren wird die Basis falsch verwendet.
• Halbwertszeit wird als \( \tfrac{1}{2} \cdot N_0 \) interpretiert (es ist die Zeit, nicht der Bestand).
Zusammenfassung:
• Modell: \( N(t) = N_0 \cdot a^t \) mit \( a = 1 + \tfrac{p}{100} \) (Wachstum) bzw. \( a = 1 - \tfrac{p}{100} \) (Zerfall)
• \( N'(t) = k \cdot N(t) \) (Wachstum proportional zum Bestand)
• Verdopplungszeit \( T_2 = \tfrac{\ln 2}{k} \), Halbwertszeit \( T_{1/2} = \tfrac{\ln 2}{|k|} \)
• Auflösen nach \( t \) durch Logarithmieren
Abitur-Tipp: Bei Wachstumsaufgaben immer zuerst die Modellfunktion aufstellen und mit Worten dokumentieren, was \( N_0 \), \( a \) und \( t \) bedeuten. Punkte gibt es auch für die saubere Modellierung.