Rotiert man den Graphen einer Funktion \( f \) im Intervall \( [a; b] \) um die \( x \)-Achse, entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen berechnet sich mit der Formel
\[ V = \pi \int_a^b \big( f(x) \big)^2 \, dx \]
Die Funktion wird also quadriert (das ergibt die Querschnittsfläche des Körpers an der Stelle \( x \): ein Kreis mit Radius \( f(x) \), Fläche \( \pi (f(x))^2 \)) und integriert.
Berechne das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn der Graph von \( f(x) = \sqrt{x} \) im Intervall \( [0; 4] \) um die \( x \)-Achse rotiert.
\( (f(x))^2 = x \).
\( V = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \cdot \big[ \tfrac{1}{2} x^2 \big]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi \) VE \( \approx 25{,}13 \) Volumeneinheiten.
Für \( f(x) = x \) im Intervall \( [0; 3] \) entsteht durch Rotation ein Kegel mit Höhe 3 und Radius 3.
\( V = \pi \int_0^3 x^2 \, dx = \pi \cdot \tfrac{1}{3} \cdot 27 = 9\pi \) VE.
Vergleich mit der Kegel-Formel: \( V_{\text{Kegel}} = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h = \tfrac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi \). Stimmt.
• Funktion wird nicht quadriert.
• \( \pi \) wird vergessen.
• Bei zusammengesetzten Funktionen wird das Quadrat falsch berechnet (etwa \( (x+1)^2 \neq x^2 + 1 \)).
Abitur-Tipp: Bei \( (f(x))^2 \) immer ausmultiplizieren, bevor du integrierst. Das vermeidet Fehler.