Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren linearen Gleichungen, in denen mehrere Unbekannte gleichzeitig vorkommen. „Linear“ bedeutet: Die Variablen treten nur in der ersten Potenz auf, ohne Produkte miteinander, ohne Wurzeln oder Brüche.
Allgemein hat ein LGS mit \( m \) Gleichungen und \( n \) Unbekannten die Form
\[ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n &= b_2 \\ &\vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n &= b_m \end{aligned} \]
Die Zahlen \( a_{ij} \) heißen Koeffizienten, die \( b_i \) bilden die rechte Seite.
Statt das ganze System auszuschreiben, benutzt man die erweiterte Koeffizientenmatrix:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array} \right) \]
Diese kompakte Schreibweise ist die Grundlage für das Gauss-Verfahren. Jede Zeile entspricht einer Gleichung, jede Spalte einer Variablen (außer der letzten, die die rechte Seite enthält).
Gegeben: \( 2x + 3y - z = 4 \), \( x - y + 2z = 1 \), \( 3x + y + z = 6 \).
Erweiterte Matrix:
\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 6 \end{array} \right) \]
Ein LGS hat genau eine der folgenden Lösungsmengen:
• Genau eine Lösung (eindeutig bestimmt)
• Keine Lösung (Widerspruch, z. B. \( 0 = 1 \))
• Unendlich viele Lösungen (mit einem oder mehreren Parametern)
Bei drei Variablen entspricht das geometrisch: Schnittpunkt dreier Ebenen, parallele Ebenen oder eine Schnittgerade.
Aufgabe: Eine ganzrationale Funktion 2. Grades \( f(x) = ax^2 + bx + c \) verläuft durch \( P_1(0|3) \), \( P_2(1|2) \) und \( P_3(2|5) \).
Aus den drei Punkten ergeben sich drei Gleichungen:
\( c = 3 \)
\( a + b + c = 2 \Rightarrow a + b = -1 \)
\( 4a + 2b + c = 5 \Rightarrow 4a + 2b = 2 \Rightarrow 2a + b = 1 \)
Aus den letzten beiden: \( a = 2 \), \( b = -3 \). Damit \( f(x) = 2x^2 - 3x + 3 \).
• Beim Aufstellen werden Vorzeichen falsch übernommen.
• Variablen werden in der Matrix nicht spaltenweise zugeordnet.
• Eine Gleichung wird vergessen oder doppelt benutzt.
Zusammenfassung:
• LGS: mehrere lineare Gleichungen mit gleichen Variablen
• Schreibweise: ausführlich oder als erweiterte Koeffizientenmatrix
• Drei mögliche Fälle: eindeutige, keine, unendlich viele Lösungen
• Anwendung: Funktionen durch Punkte, Schnittprobleme, Modellierung
Abitur-Tipp: Beim Aufstellen aus einem Sachkontext sauber notieren, was \( x \), \( y \), \( z \) bedeuten. Die Modellierung ist oft die halbe Aufgabe.