Das Gausssche Eliminationsverfahren ist die Standardmethode zum Lösen linearer Gleichungssysteme im Abitur. Ziel: Das LGS in Stufenform bringen, sodass man von unten nach oben einsetzen kann.
Erlaubte Umformungen (Äquivalenzumformungen):
• Zwei Gleichungen vertauschen
• Eine Gleichung mit einer Zahl \( \neq 0 \) multiplizieren
• Ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren
Diese Operationen verändern die Lösungsmenge nicht.
1. Schreibe das LGS als erweiterte Koeffizientenmatrix.
2. Eliminiere die erste Variable aus allen Zeilen außer der ersten.
3. Eliminiere die zweite Variable aus allen Zeilen ab der dritten.
4. Fortsetzen, bis Stufenform erreicht.
5. Von unten nach oben einsetzen (Rückwärtseinsetzen).
Gegeben:
(I) \( x + 2y + z = 6 \)
(II) \( 2x - y + 3z = 14 \)
(III) \( 3x + y - z = 2 \)
Schritt 1: Eliminiere \( x \).
(II) \( - 2 \cdot \) (I): \( -5y + z = 2 \)
(III) \( - 3 \cdot \) (I): \( -5y - 4z = -16 \)
System jetzt:
(I) \( x + 2y + z = 6 \)
(II') \( -5y + z = 2 \)
(III') \( -5y - 4z = -16 \)
Schritt 2: Eliminiere \( y \) aus (III').
(III') \( - \) (II'): \( -5z = -18 \Rightarrow z = \tfrac{18}{5} = 3{,}6 \)
Hmm, das ergibt unschöne Brüche – ich wähle ein einfacheres Beispiel:
Neuer Versuch: (I) \( x + y + z = 6 \), (II) \( 2x - y + z = 3 \), (III) \( x + 2y - z = 2 \).
(II) \( - 2 \cdot \) (I): \( -3y - z = -9 \).
(III) \( - \) (I): \( y - 2z = -4 \).
Aus der zweiten Zeile: \( z = -3y + 9 \). Einsetzen in die dritte:
\( y - 2(-3y + 9) = -4 \Rightarrow y + 6y - 18 = -4 \Rightarrow 7y = 14 \Rightarrow y = 2 \).
Dann \( z = -3 \cdot 2 + 9 = 3 \), und aus (I): \( x = 6 - 2 - 3 = 1 \).
Lösung: \( x = 1, \; y = 2, \; z = 3 \).
Probe: (II): \( 2 - 2 + 3 = 3 \). Stimmt.
• Eindeutige Lösung: Nach der Stufenform lassen sich alle Variablen eindeutig bestimmen.
• Keine Lösung: Eine Zeile lautet \( 0 = c \) mit \( c \neq 0 \) (Widerspruch).
• Unendlich viele Lösungen: Eine Zeile lautet \( 0 = 0 \) – eine Variable wird zum freien Parameter \( t \).
Bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reichen oft das Einsetzungsverfahren (eine Gleichung nach einer Variable umstellen, einsetzen) oder das Additionsverfahren (zwei Gleichungen addieren, sodass eine Variable wegfällt). Das Gauss-Verfahren ist nur die systematische Verallgemeinerung dieser Ideen für mehr Gleichungen.
• Vorzeichenfehler bei Subtraktionen.
• Eine Zeile wird vergessen mitzuziehen.
• Beim Rückwärtseinsetzen wird die falsche Variable eingesetzt.
• Probe wird nicht gemacht.
Zusammenfassung:
• Gauss-Verfahren: Stufenform durch Äquivalenzumformungen
• Rückwärtseinsetzen ergibt die Lösung
• Drei Fälle: eindeutig / keine / unendlich viele
• Probe macht unverzichtbar
Abitur-Tipp: Notiere bei jedem Schritt klar, welche Operation du gemacht hast (z. B. „(II) \( - 2 \cdot \) (I)“). Der Korrektor kann deine Rechnung nachvollziehen und vergibt mehr Teilpunkte.