Ein Vektor ist eine gerichtete Größe: Er hat eine Länge (Betrag) und eine Richtung. Geometrisch wird ein Vektor als Pfeil dargestellt – alle parallelen Pfeile gleicher Länge und gleicher Richtung repräsentieren denselben Vektor.
In der Schule arbeiten wir meist im dreidimensionalen Raum \( \mathbb{R}^3 \). Ein Vektor wird dort als Spalte mit drei Komponenten geschrieben:
\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
Die einzelnen Zahlen \( v_1, v_2, v_3 \) sind die Komponenten in \( x \)-, \( y \)- und \( z \)-Richtung.
Der Ortsvektor eines Punktes \( P(p_1 | p_2 | p_3) \) ist der Vektor, der vom Ursprung \( O \) zum Punkt \( P \) zeigt:
\[ \vec{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \]
Der Verbindungsvektor zweier Punkte \( A \) und \( B \) berechnet sich als „Spitze minus Anfang“:
\[ \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \begin{pmatrix} b_1 - a_1 \\ b_2 - a_2 \\ b_3 - a_3 \end{pmatrix} \]
Gegeben: \( A(1|2|3) \) und \( B(4|0|5) \).
Ortsvektoren: \( \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; \vec{OB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \).
Verbindungsvektor: \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 0-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Der Vektor zeigt von \( A \) nach \( B \). Die Länge ist \( \left| \vec{AB} \right| = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \approx 4{,}12 \).
• Nullvektor: \( \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \). Hat keine Richtung und Länge 0.
• Gegenvektor: \( -\vec{v} \) hat dieselbe Länge wie \( \vec{v} \), aber entgegengesetzte Richtung.
• Einheitsvektor: Vektor mit Länge 1, oft als Richtungsvektor verwendet.
• Verbindungsvektor wird falsch berechnet (Anfang minus Spitze statt umgekehrt).
• Punkt und Vektor werden verwechselt: Ein Punkt hat einen festen Ort, ein Vektor nur Richtung und Länge.
• Pfeil über dem Vektor wird vergessen.
Zusammenfassung:
• Vektor = gerichtete Größe mit Betrag und Richtung
• Schreibweise: Spalte mit drei Komponenten
• Ortsvektor: vom Ursprung zum Punkt
• Verbindungsvektor: \( \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \) („Spitze minus Anfang“)
Abitur-Tipp: Merke dir den Spruch „Spitze minus Anfang“ – das verhindert die häufigste Fehlerquelle bei Verbindungsvektoren.