Die Länge (auch Betrag oder Norm) eines Vektors \( \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \) berechnet sich mit der dreidimensionalen Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras:
\[ \left| \vec{v} \right| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]
Die Länge ist immer eine nicht-negative reelle Zahl. Nur der Nullvektor hat Länge 0.
Berechne \( \left| \vec{v} \right| \) für \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} \).
\( \left| \vec{v} \right| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \).
Der Vektor hat die Länge 7 (Einheiten).
• Abstand zweier Punkte: \( |AB| = \left| \vec{AB} \right| \)
• Einheitsvektor: \( \vec{e} = \tfrac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} \)
• Längenprüfung in geometrischen Beweisen (z. B. Quadrat hat vier gleich lange Seiten)
Beispiel: Abstand zwischen \( A(1|2|3) \) und \( B(4|6|3) \): \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( |AB| = \sqrt{9+16+0} = 5 \).
• Wurzel wird vergessen.
• Quadrate werden negativ angesetzt (\( (-3)^2 = 9 \), nicht \( -9 \)).
• Beim Verbindungsvektor werden Anfang und Spitze vertauscht.
Abitur-Tipp: Schreibe stets die Formel \( |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \) explizit hin, bevor du die Werte einsetzt. Das gibt einen Punkt für die korrekte Methode.