Die Skalarmultiplikation (auch S-Multiplikation oder Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl) ist die einfachste Vektoroperation: Ein Vektor wird mit einer reellen Zahl \( k \) (dem „Skalar“) multipliziert, indem jede Komponente einzeln mit \( k \) multipliziert wird.
\[ k \cdot \vec{v} = k \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ k \cdot v_3 \end{pmatrix} \]
Achtung: Verwechsle die Skalarmultiplikation nicht mit dem Skalarprodukt (zwei Vektoren ergeben eine Zahl). Die Skalarmultiplikation ist Zahl mal Vektor, das Ergebnis ist wieder ein Vektor.
Die Multiplikation mit einem Skalar ändert die Länge des Vektors um den Faktor \( |k| \). Das Vorzeichen entscheidet über die Richtung:
• \( k > 0 \): gleiche Richtung wie \( \vec{v} \)
• \( k < 0 \): entgegengesetzte Richtung
• \( k = 0 \): Nullvektor
Für die Länge gilt: \( |k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}| \).
Berechne \( 3 \cdot \vec{v} \) und \( -2 \cdot \vec{v} \) für \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \).
\( 3 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6 \\ 12 \end{pmatrix} \)
\( -2 \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ -8 \end{pmatrix} \)
Länge: \( |\vec{v}| = \sqrt{1+4+16} = \sqrt{21} \), \( |3 \cdot \vec{v}| = \sqrt{9 + 36 + 144} = \sqrt{189} = 3\sqrt{21} \).
• Skalar wird nur mit einer Komponente multipliziert.
• Negative Vorzeichen werden vergessen.
• Skalarmultiplikation und Skalarprodukt verwechselt.
Abitur-Tipp: Bei der Skalarmultiplikation immer alle drei Komponenten einzeln aufschreiben – die Mehrarbeit ist minimal, der Sicherheitsgewinn gross.