Vektoren werden komponentenweise addiert und subtrahiert:
\[ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}, \quad \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ a_3 - b_3 \end{pmatrix} \]
Geometrisch entspricht die Addition dem Aneinanderhängen der Pfeile (Spitze an Anfang).
Eine Linearkombination ist eine Kombination aus Skalarmultiplikation und Addition:
\[ k \cdot \vec{a} + l \cdot \vec{b} \]
mit \( k, l \in \mathbb{R} \). Linearkombinationen tauchen überall in der Geometrie auf, etwa bei Geraden- und Ebenengleichungen.
Gegeben: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \).
\( \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
\( \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \)
\( 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Für Vektoren gelten die üblichen Rechenregeln:
• Kommutativ: \( \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} \)
• Assoziativ: \( (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) \)
• Distributiv: \( k \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b} \)
• Vektoren werden über Kreuz statt komponentenweise addiert.
• Bei \( -\vec{b} \) werden Vorzeichen vergessen.
• Spaltenform und Zeilenform werden gemischt.
Abitur-Tipp: Schreibe alle Vektoren in der gleichen Spaltenform untereinander – so siehst du sofort, welche Komponente zusammengehört.