Vektoren \( \vec{v}_1, \vec{v}_2, \ldots, \vec{v}_n \) heißen linear abhängig, wenn sich mindestens einer als Linearkombination der anderen schreiben lässt. Anders formuliert: Es gibt nicht alle null-Skalare \( k_1, \ldots, k_n \) mit
\[ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + \ldots + k_n \vec{v}_n = \vec{0} \]
Sind die einzige Lösung dieser Gleichung \( k_1 = k_2 = \ldots = k_n = 0 \), so heißen die Vektoren linear unabhängig.
• Zwei Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie parallel (kollinear) sind, also \( \vec{a} = k \cdot \vec{b} \).
• Drei Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn sie in einer Ebene liegen (komplanar).
• Im \( \mathbb{R}^3 \) sind höchstens 3 Vektoren linear unabhängig.
Prüfe, ob \( \vec{a} = k \cdot \vec{b} \) gilt: Bilde komponentenweise das Verhältnis. Sind alle Verhältnisse gleich, sind die Vektoren parallel (linear abhängig).
Beispiel: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \). Verhältnis: \( \tfrac{2}{1} = \tfrac{4}{2} = \tfrac{6}{3} = 2 \). Also \( \vec{a} = 2 \vec{b} \), linear abhängig.
Bei drei Vektoren löst man das LGS \( k_1 \vec{a} + k_2 \vec{b} + k_3 \vec{c} = \vec{0} \). Hat es nur die triviale Lösung \( k_1 = k_2 = k_3 = 0 \), sind die Vektoren linear unabhängig.
Beispiel: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Aus den ersten beiden Komponenten folgt \( k_1 + k_3 = 0 \) und \( k_2 + k_3 = 0 \). Die dritte Komponente liefert keine Information. Wähle \( k_3 = 1 \), dann \( k_1 = -1 \), \( k_2 = -1 \). Es gibt also eine nicht-triviale Lösung – die Vektoren sind linear abhängig (alle drei liegen in der \( xy \)-Ebene).
• Bei zwei Vektoren wird nur eine Komponente verglichen.
• Trivialer Lösung wird mit nicht-trivialer verwechselt.
• Komponenten mit Wert null im Nenner führen zu Verhältnisproblemen.
Zusammenfassung:
• Linear abhängig: ein Vektor lässt sich aus den anderen kombinieren
• Zwei Vektoren: parallel prüfen (\( \vec{a} = k \vec{b} \))
• Drei Vektoren im \( \mathbb{R}^3 \): LGS lösen oder Determinante \( = 0 \)
• Komplanare Vektoren sind linear abhängig
Abitur-Tipp: Bei zwei Vektoren reicht es zu zeigen, dass nicht alle Komponenten dasselbe Verhältnis haben – das beweist sofort die lineare Unabhängigkeit.