Das Skalarprodukt zweier Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) ist eine reelle Zahl (kein Vektor). Es wird komponentenweise berechnet:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]
Geometrische Definition: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) \), wobei \( \alpha \) der von beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist.
• Kommutativ: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \)
• Distributiv: \( \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} \)
• Skalar herausziehbar: \( (k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) \)
• \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)
Die wichtigste Anwendung im Abitur: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist:
\[ \vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]
Begründung: Für \( \alpha = 90^\circ \) ist \( \cos(\alpha) = 0 \), daher \( |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot 0 = 0 \).
Zeige, dass \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \) senkrecht aufeinander stehen.
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 8 - 6 - 2 = 0 \).
Da das Skalarprodukt null ist, sind die Vektoren orthogonal.
Aus der geometrischen Definition lässt sich der Winkel berechnen:
\[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]
Beispiel: \( \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Skalarprodukt: \( 1 \). Beträge: \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \). Damit \( \cos(\alpha) = \tfrac{1}{\sqrt{2}} \), also \( \alpha = 45^\circ \).
• Skalarprodukt mit Skalarmultiplikation verwechselt.
• Beim Winkel wird der Betrag der Vektoren vergessen.
• Bei \( \cos(\alpha) > 0 \) wird der stumpfe Winkel gewählt.
Zusammenfassung:
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \) (eine Zahl)
• Orthogonal \( \iff \) Skalarprodukt = 0
• \( \cos(\alpha) = \tfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \)
• \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \)
Abitur-Tipp: Wenn nur Orthogonalität gefragt ist, reicht es das Skalarprodukt zu berechnen – den Winkel musst du dann nicht ausrechnen.