Eine Gerade im Raum wird durch einen Aufpunkt (Stellvertreter für alle Punkte der Geraden) und einen Richtungsvektor beschrieben:
\[ g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u}, \quad r \in \mathbb{R} \]
Für jeden reellen Parameter \( r \) entsteht ein Punkt der Geraden.
Sind zwei Punkte \( A \) und \( B \) gegeben, wählt man:
• Aufpunkt: einen der beiden Punkte, z. B. \( \vec{p} = \vec{OA} \)
• Richtungsvektor: \( \vec{u} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} \)
Damit:
\[ g: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} \]
Gegeben: \( A(1|2|3) \) und \( B(4|6|5) \).
Aufpunkt: \( \vec{OA} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \).
Richtungsvektor: \( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 6-2 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Geradengleichung:
\[ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Probe: Setze \( r = 0 \): Punkt \( A \). Setze \( r = 1 \): \( \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} = B \). Stimmt.
• Die Wahl des Aufpunkts ist nicht eindeutig: Auch \( \vec{OB} \) statt \( \vec{OA} \) führt zu einer (anderen aussehenden, aber identischen) Geradengleichung.
• Der Richtungsvektor darf mit jeder Zahl \( \neq 0 \) multipliziert werden, ohne die Gerade zu ändern. Z. B. ist \( \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} \) genauso ein gültiger Richtungsvektor wie \( \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \).
• Richtungsvektor mit „Anfang minus Spitze“ statt „Spitze minus Anfang“ gebildet.
• Aufpunkt vergessen.
• Parameter \( r \) wird mit Variable \( x \) verwechselt.
Zusammenfassung:
• Form: \( g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} \)
• Aus zwei Punkten: Aufpunkt = \( \vec{OA} \), Richtungsvektor = \( \vec{AB} \)
• Probe: \( r = 0 \) ergibt \( A \), \( r = 1 \) ergibt \( B \)
• Mehrere Parameterformen für dieselbe Gerade möglich
Abitur-Tipp: Mache nach jeder Aufstellung kurz die Probe \( r = 0 \) und \( r = 1 \). Das überprüft beide Punkte gleichzeitig.