Bei der Punktprobe wird geprüft, ob ein gegebener Punkt \( P \) auf einer Geraden \( g: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} \) liegt. Dazu setzt man den Ortsvektor von \( P \) gleich der Geradengleichung und löst nach \( r \).
Es entstehen drei Gleichungen (eine pro Komponente). Ist die Gleichung in allen drei Komponenten mit demselben \( r \) erfüllt, liegt der Punkt auf der Geraden – sonst nicht.
Gegeben: \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \). Liegt \( P(5|4|1) \) auf \( g \)?
Ansatz: \( \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \).
Komponentenweise:
I: \( 5 = 1 + 2r \Rightarrow r = 2 \)
II: \( 4 = 2 + r \Rightarrow r = 2 \)
III: \( 1 = 3 - r \Rightarrow r = 2 \)
Alle drei Gleichungen liefern \( r = 2 \). Also liegt \( P \) auf \( g \).
Prüfe \( Q(0|1|4) \) auf derselben Geraden.
I: \( 0 = 1 + 2r \Rightarrow r = -\tfrac{1}{2} \)
II: \( 1 = 2 + r \Rightarrow r = -1 \)
Die ersten beiden Komponenten liefern unterschiedliche \( r \). \( Q \) liegt nicht auf \( g \). (Die dritte Komponente muss nicht mehr geprüft werden.)
• Bei nur einer passenden Komponente wird vorschnell auf „liegt“ geschlossen.
• Vorzeichenfehler beim Auflösen.
• Punkt und Vektor werden vertauscht.
Abitur-Tipp: Schreibe alle drei Gleichungen explizit hin. Bei Widerspruch sofort begründen: „Da \( r \) nicht eindeutig bestimmbar ist, liegt \( P \) nicht auf \( g \).“