Zwei Geraden im Raum können genau eine der vier folgenden Lagen einnehmen:
• Identisch: gleiche Gerade
• Parallel (echt): gleiche Richtung, kein gemeinsamer Punkt
• Schneidend: ein gemeinsamer Schnittpunkt
• Windschief: keine gemeinsame Richtung und kein Schnittpunkt
Im Gegensatz zur Ebene gibt es im dreidimensionalen Raum die zusätzliche Möglichkeit der windschiefen Geraden.
1. Prüfe, ob die Richtungsvektoren parallel sind (linear abhängig).
• Ja: Mache eine Punktprobe (Aufpunkt der einen auf der anderen?). Liegt der Punkt drauf: identisch. Sonst: parallel.
• Nein: Setze die Geradengleichungen gleich und löse. Hat das Gleichungssystem eine Lösung: schneidend. Hat es keine: windschief.
Untersuche die Lage von
\( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Schritt 1: Richtungsvektoren parallel? Die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) sind nicht parallel (kein gemeinsamer Faktor).
Schritt 2: Schnittansatz. Setze gleich:
\( 1 + r = 3 \Rightarrow r = 2 \)
\( r = 1 + s \)
\( 2 = 4 + s \Rightarrow s = -2 \)
Aus der ersten Zeile \( r = 2 \), aus der zweiten dann \( s = 1 \). Aus der dritten \( s = -2 \). Widerspruch! Das LGS hat keine Lösung.
Ergebnis: Die Geraden sind windschief.
• Beim parallelen Fall wird vergessen, die Punktprobe zu machen (so lässt sich identisch nicht von echt parallel unterscheiden).
• Bei nicht-parallelen Richtungen wird der Fall windschief vergessen.
• Im LGS werden zwei Gleichungen statt drei gelöst (alle drei Komponenten müssen geprüft werden).
Zusammenfassung:
• Vier Fälle: identisch / parallel / schneidend / windschief
• Zuerst Richtungsvektoren auf Parallelität prüfen
• Bei Parallelität: Punktprobe
• Sonst: Gleichungssystem aufstellen und lösen
Abitur-Tipp: Strukturiere deine Antwort wie ein Entscheidungsbaum: erst Richtungen, dann Punktprobe oder Schnittansatz. So überzeugst du den Korrektor.