Der Schnittwinkel \( \alpha \) zweier sich schneidender Geraden berechnet sich aus den Richtungsvektoren \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) mit dem Skalarprodukt:
\[ \cos(\alpha) = \frac{\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} \]
Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass immer der spitze Winkel (\( 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ \)) herauskommt – dieser ist nach Konvention der Schnittwinkel.
Berechne den Schnittwinkel der Geraden mit Richtungsvektoren \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Skalarprodukt: \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 + 0 + 0 = 1 \).
Beträge: \( |\vec{u}| = \sqrt{2} \), \( |\vec{v}| = \sqrt{2} \).
\( \cos(\alpha) = \tfrac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \tfrac{1}{2} \), also \( \alpha = 60^\circ \).
• Betrag im Zähler vergessen – ergibt einen stumpfen Winkel.
• Taschenrechner steht im Bogenmaß statt Grad.
• Schnittwinkel auch für windschiefe Geraden berechnet (geht zwar formal, ist aber kein Schnittwinkel im engeren Sinne).
Abitur-Tipp: Prüfe vor der Berechnung, ob die Geraden überhaupt schneiden – sonst macht der Schnittwinkel inhaltlich wenig Sinn.