Die Parameterform einer Ebene wird durch einen Aufpunkt und zwei linear unabhängige Spannvektoren beschrieben:
\[ E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}, \quad r, s \in \mathbb{R} \]
Die beiden Spannvektoren müssen die Ebene wirklich aufspannen – sie dürfen nicht parallel sein. Mit zwei Parametern \( r \) und \( s \) kann jeder Punkt der Ebene erreicht werden.
Sind drei Punkte \( A, B, C \) gegeben (die nicht alle auf einer Geraden liegen), wählt man:
• Aufpunkt: \( \vec{p} = \vec{OA} \)
• Erster Spannvektor: \( \vec{u} = \vec{AB} \)
• Zweiter Spannvektor: \( \vec{v} = \vec{AC} \)
So entsteht: \( E: \vec{x} = \vec{OA} + r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC} \).
Gegeben: \( A(1|0|2) \), \( B(3|1|2) \), \( C(2|2|4) \).
\( \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \), \( \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Sind die Vektoren parallel? Verhältnis: \( \tfrac{2}{1} = 2 \), \( \tfrac{1}{2} = 0{,}5 \). Nicht gleich, also linear unabhängig. Die drei Punkte spannen tatsächlich eine Ebene auf.
Ebenengleichung:
\[ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \]
Probe: \( r = s = 0 \) liefert \( A \), \( r = 1, s = 0 \) liefert \( B \), \( r = 0, s = 1 \) liefert \( C \). Stimmt.
• Spannvektoren sind parallel – dann liegen die drei Punkte auf einer Geraden, keine Ebene möglich.
• Aufpunkt mit Spannvektor verwechselt.
• Nur ein Parameter benutzt.
Zusammenfassung:
• Form: \( E: \vec{x} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} \)
• Drei Punkte: Aufpunkt = \( A \), Spannvektoren = \( \vec{AB} \) und \( \vec{AC} \)
• Spannvektoren müssen linear unabhängig sein
• Probe mit \( r = s = 0 \), \( r = 1, s = 0 \), \( r = 0, s = 1 \)
Abitur-Tipp: Prüfe immer kurz die lineare Unabhängigkeit der Spannvektoren – das ist eine wichtige Voraussetzung und gibt einen Punkt.