Die Koordinatenform einer Ebene lautet:
\[ E: a x_1 + b x_2 + c x_3 = d \]
Die Koeffizienten \( a, b, c \) bilden den Normalenvektor \( \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \), der senkrecht auf der Ebene steht. Die Konstante \( d \) ergibt sich durch Einsetzen eines Punktes der Ebene.
Aus der Parameterform \( E: \vec{x} = \vec{p} + r \vec{u} + s \vec{v} \) gewinnt man die Koordinatenform in zwei Schritten:
1. Normalenvektor finden. Der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Spannvektoren. Im Abitur löst man dazu das LGS \( \vec{n} \cdot \vec{u} = 0 \) und \( \vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \) (oder benutzt das Kreuzprodukt, falls bekannt).
2. \( d \) berechnen. Setze den Aufpunkt \( \vec{p} \) in \( a x_1 + b x_2 + c x_3 \) ein.
\( E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Normalenvektor: Setze \( \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \). Die Bedingungen:
(I) \( 2a + b = 0 \)
(II) \( a + 2b + 2c = 0 \)
Aus (I): \( b = -2a \). In (II): \( a - 4a + 2c = 0 \Rightarrow -3a + 2c = 0 \Rightarrow c = \tfrac{3a}{2} \).
Wähle \( a = 2 \): \( b = -4 \), \( c = 3 \). Also \( \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} \).
\( d \) berechnen: Aufpunkt \( (1|0|2) \) einsetzen: \( 2 \cdot 1 + (-4) \cdot 0 + 3 \cdot 2 = 8 \).
Koordinatenform: \( E: 2 x_1 - 4 x_2 + 3 x_3 = 8 \).
Liegt ein Punkt \( P \) in der Ebene? Setze die Koordinaten in die linke Seite ein und vergleiche mit \( d \).
Beispiel: \( P(2|1|3) \) und \( E: 2 x_1 - 4 x_2 + 3 x_3 = 8 \). \( 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 4 - 4 + 9 = 9 \neq 8 \). Also nicht in der Ebene.
• Normalenvektor falsch berechnet (eine Bedingung übersehen).
• \( d \) wird mit der falschen Punktwahl ermittelt.
• Vorzeichen werden vergessen.
Zusammenfassung:
• Koordinatenform: \( a x_1 + b x_2 + c x_3 = d \)
• \( (a, b, c) \) ist der Normalenvektor
• Aus Parameterform: Normale aus \( \vec{n} \perp \vec{u}, \vec{v} \), dann Aufpunkt einsetzen
• Punktprobe: einsetzen und mit \( d \) vergleichen
Abitur-Tipp: Mache die Probe mit dem Aufpunkt: Der muß in die Koordinatenform passen, sonst hast du dich verrechnet.